Расстояние от точки до плоскости

Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 и точка . Расстояние от точки до плоскости P равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Возьмем на плоскости произвольную точку М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀).

Предположим сначала, что точка принадлежит положительному полупространству. Тогда угол a между векторами и острый, их скалярное произведение положительно и равно · = ê ê· ê êcos a.

Заметим, что произведение ê êcos a равно проекции вектора на вектор , перпендикулярный плоскости P, то есть равно d — длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Следовательно

· = ê ê· d Û d = = = = = ³ 0, так как точка принадлежит положительному полупространству.

Пусть теперь точка принадлежит отрицательному полупространству. Тогда угол a между векторами – и острый, их скалярное произведение положительно и равно – · = ê– ê· ê êcos a.

Произведение ê êcos a равно проекции вектора на вектор – , перпендикулярный плоскости P, то есть равно d — длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Следовательно

– · = ê– ê· d Û d = = = = = = – ³ 0, так как точка принадлежит отрицательному полупространству.

В общем случае расстояние от точки до плоскости P вычисляется по формуле d = .

Дата добавления: 2015-04-24