Вопрос 2

Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а_x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а_x· i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а _x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция. Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а_x. При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y, его проекция будет обозначаться а_y.

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а_x = х_к − x_н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х_к больше величины х_н,

отрицательной, если величина х_к меньше величины х_н

и равной нулю, если х_к равно х_н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а_x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то
Cos α > 0 и а_x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Вначале вспомним, что такое ось, проекция точки на ось и координата точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление. Можете считать, что это вектор с бесконечно большим модулем.

Ось обозначается какой-либо буквой: X, Y, Z, s, t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка.

Рис. 8

Координата точки - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

Скалярная проекция вектора на ось - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция, то есть слово скалярная опускают. Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а_x. При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y, его проекция будет обозначаться а_y (рис. 9).

Рис. 9

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а_x = х_к − x_н.

Надо помнить: проекция вектора на ось - это число! Причем, проекция может быть положительной, если величина х_к больше величины х_н, отрицательной, если величина х_к меньше величины х_н и равной нулю, если х_к равно х_н (рис. 10).

Рис. 10

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка 11 видно, что а_x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то
Cos α > 0 и а_x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Рис. 11

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если

а = b + c +…+ d, то а_x = b_x + c_x +…+ d_x (аналогично на другие оси),

если

a = m b, то а_x = mb_x (аналогично на другие оси).

Координаты и компоненты вектора

Если и — два неколлинеарных вектора в плоскости, а — произвольный вектор в той же плоскости, то всегда существуют такие числа и , что . В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам и .

Если и — неколлинеарные единичные векторы (т. е. вектора, модуль которых равен единице) , то произвольный вектор плоскости может быть представлен в виде . В этом случае говорят, что вектор имеет в системе и координаты .

Если векторы и взаимно перпендикулярны, причем вектор может быть получен из вектора поворотом против часовой стрелки, то говорят, что прямые, в которых лежат и , образуют декартову прямоугольную систему координат, а числа называются декартовыми координатами вектора .

Пусть точка с координатами — начало вектора , а точка с координатами — его конец. Тогда координаты вектора связаны с координатами точек и формулами: , , т. е. декартовы координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и его начала.

Декартовы координаты вектора являются проекциями этого вектора на соответственные оси систем координат: , .

Пусть вектор имеет координаты , что записывается в виде , а вектор — , или .

Тогда:

,

,

,

,

т. е. действиям с векторами отвечают идентичные действия с их координатами.

Модуль вектора определяется через его декартовы координаты посредством равенства: , а единичный вектор , имеющий с вектором одинаковое направление, записывается в виде и имеет координаты: .

Дата добавления: 2015-04-24