Частичная сумма числового ряда

Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .

Приведем пример числовой последовательности: .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: .

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

– это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть .

Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: .

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: . n–ая частичная сумма определяется выражением , а предел частичных сумм бесконечен: .

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел частичных сумм бесконечен .

39. Необходимое условие сходимости ряда:

Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность была бесконечно малой.

[править]Доказательство

По условию последовательность , а следовательно, и её остаток имеют общий конечный предел , но и поэтому , что равносильно бесконечной малости .

40.

Если все числа положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

Дата добавления: 2015-04-24