Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.
Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Доказательство:
Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, DAOB, и на сходственной стороне A1B1 другого многоугольника построим углы О1А1В1 и О1В1А1, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О1 соединим с прочими вершинами многоугольника А1В1С1D1E1. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.
Из определения подобных многоугольников:
Из подобия треугольников АОВ и А1О1В1:
Отсюда: и т. д.
2).
3).
Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.
27. Доказать теорему о площади трапеции. Следствие. Доказать, что длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликих трапеции, равна среднему квадратичному оснований.
Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).
Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:
Доказательство:
M
D
N
C
B
А
Следствие из теоремы о площади трапеции. Площадь трапеции равна произве
E
F
M
D
N
C
B
А
дению средней линии и высоты:
Доказательство:
По свойству средней линии трапеции Поэтому
F
E
D
Q
C
P
B
A
Теорема 2. Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному оснований:
Доказательство:
1. Пусть AD = a, BC = b, BE = h.
2. По свойству равновеликости площадей:
3. По свойству равносоставленности площадей:
28. Доказать формулу Герона.
ЕА
С
В
А
Теорема Пифагора позволяет решить две важные задачи:
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление