Теорема 1 (о центре описанной окружности). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, а потом доказать, что у этого прямоугольника все стороны равны.

Доказать, что параллелограмм является ромбом, а затем доказать, что у этого ромба все углы прямые.

У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

У квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

У квадрата все углы прямые.

У квадрата все стороны равны.

Так как квадрат является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Так как квадрат является прямоугольником, то он обладает особым свойством прямоугольника. Так как квадрат является ромбом, то он обладает особым свойством ромба. Обобщив все перечисленные свойства, получим следующие свойства квадрата.

Рассмотрим DАВС и DВСD.

Рассмотрим DАВС и DВСD.

ВС – общая;

АВ = СD (по свойству параллелограмма);

АС = ВD (по условию);

ÐАВС = ÐВСD = 90° (по свойству прямоугольника). Þ

DАВС = DВCD (как прямоугольные по двум катетам)Þ АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Дано: ABCD – параллелограмм; AC = BD. Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство:

ВС – общая; АС = ВD (по условию); АВ = СD (по свойству параллелограмма)Þ DАВС = DВCD (по ССС).

Þ ÐАВС = ÐВСD. ÐАВС + ÐВСD = 180°Þ ÐАВС = ÐВСD = 90°. ÐВ = ÐD и ÐА = ÐС (по свойству параллелограмма). Þ ABCD – прямоугольник.

Определения: Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые; прямоугольник, у которого все стороны равны; ромб, у которого все углы прямые.

5. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов. Стороны квадрата образуют с диагоналями углы по 45°.

Признаки квадрата. Чтобы доказать, что параллелограмм является квадратом, нужно:

7. Доказать теоремы о вписанной и описанной около треугольника окружностях.

Определение 1. Треугольник называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

Дано: D АВС; KK₁, NN₁, PP₁ - серединные перпендикуляры.

C

B

A

N

K

P

O

K₁

N₁

P₁

Доказать: KK₁ ∩ NN₁ = {O}; KK₁ ∩ PP₁ = {O}.

Доказательство:

1. Пусть серединные перпендикуляры KK₁ и NN₁ пересекаются в точке О. Соединим точку О с вершинами треугольника АВС.

2. По характерному свойству серединного перпендикуляра ОА = ОВ, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре KK₁; и OВ = OС, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре NN₁. Следовательно, ОA = ОB = OC.

3. Если ОA = OC, то точка О равноудалена от концов отрезка АС и лежит на серединном перпендикуляре РР₁.

Дата добавления: 2015-04-24