CD пересекает окружность

CD не пересекает окружность,

Теорема (обратная). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть четырехугольник ABCD выпуклый и AB + CD = BC +AD.

Докажем, что в него можно вписать окружность.

Действительно, биссектрисы углов ABC и BAD всегда пересекаются, так как сумма этих углов меньше 360◦, значит, сумма их половин меньше 180◦. Точка пересечения биссектрис этих углов есть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и AD четырехугольника Покажем, что четвертая сторона CD также касается этой окружности.

Возможны два предположения:

При первом предположении построим какую-нибудь касательную C₁D₁ к окружности, не пересекающую отрезок CD. Тогда по необходимому условию для описанного четырехугольника ABC₁D₁ имеем: AB + C₁D₁ = BC₁ + AD₁. Но т. к. BC₁ = BC − CC₁, AD₁ = AD − DD₁,

то AB + C₁D₁ = BC − CC₁ + AD − DD₁, откуда C₁D₁ + CC₁ + DD₁ = BC + AD − AB.

Из условия AB + CD = BC + AD следует BC + AD − AB = CD.

Следовательно, C₁D₁ +CC₁ +DD₁ =CD.

Оказалось, что в четырехугольнике CC₁D₁D одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично опровергается второе предположение. Теорема доказана.

T

С

В

N

P

А

О

Теорема о сумме катетов прямоугольного треугольника. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна разности гипотенузы и диаметра вписанной окружности.

Доказательство:

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:

AN = AP, BP = BT, CN = CT = r.

AC = AN + r, BC = BT + r, AB = AP + PB.

AC + BC = AN + BT + 2r = AB + 2r.

a + b =c + 2r.

10. Подобные треугольники. Доказать теорему о прямой, параллельной стороне треугольника ипересекающей две другие его стороны.

Дата добавления: 2015-04-24