Теорема 2 (признак касательной, обратная). Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, касается окружности

Пусть прямая p касается окружности в точке А. Допустим, что прямая p не перпендикулярна ОА.

Определение 1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

>

B

А

p

p

C

B

А

O

O

Теорема 1 (о характерном свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Проведем ОВ^p. Отложим на прямой p отрезок ВС = ВА. Тогда ΔАОВ = Δ СОВ как прямоугольные по двум катетам:

Þ OA = OC Þ точка С так же лежит на окружности, что противоречит условию. Следовательно, ОА^p.

Доказательство:

Возьмем любую точку А на окружности и проведем радиус ОА. Затем проведем прямую p, проходящую через точку А и перпендикулярную радиусу ОА. Любая точка В прямой p, отличная от точки А, удалена от О больше чем на радиус, поскольку наклонная ОВ длиннее перпендикуляра ОА. Следовательно, точка В не лежит на окружности. Значит, точка А − единственная общая точка прямой и окружности. Следовательно, прямая p является касательной к окружности.

n

q

p

C

B

А

O

Теорема 3 (об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки). Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство:

По свойству касательных ОС^q, OB^p. Проведем луч из точки А через центр окружности. Рассмотрим образовавшиеся треугольники АОС и АОВ.

Дата добавления: 2015-04-24