Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...

В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT.

3. Определитель матрицы.

Пусть дана квадратная матрица:

Определителем, соответствующим данной квадратной матрице А, называют число, обозначаемое символом:

Определителем второго порядка называют число

Пример 8:

Определителем третьего порядка называют число

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (3) берутся со знаком "+”, а какие со знаком "-”, полезно использовать следующее правило треугольников (правило Саррюса):

4. Вычисление определителей второго и третьего порядка.↑↑

5. Теорема разложения.

Рассмотрим квадратную матрицу A n -го порядка.
Выберем i, j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_{i j}:

.

Алгебраическое дополнение A_{i , j} элемента a_{i j} определяется формулой

.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

.

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

6. Свойства определителей.

Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Дата добавления: 2015-04-24