Алгоритм исключения Гаусса при наличии вырожденных главных подматриц. Алгоритм с перестановкой строк или с выбором главного элемента

См. вопрос 4

Алгоритм исключения Гаусса без перестановки строк. LU- и LDV-разложения.

LU-разложение – представление матрицы A в виде LU, где L – нижняя треугольная матрица, а U — верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

1) Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2) Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3) Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4) Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5) Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6) После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу

7) Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8) Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9) Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Для решения следующей системы уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.

· К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

· К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.

· Строку 2 делим на −2

· К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.

· К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

· К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

10. Свойства и определения матричных и векторных норм. Теорема Коши – Шварца. Число обусловленности системы линейных уравнений. Геометрический смысл числа обусловленности.

Дата добавления: 2015-04-24