Определение градиента функции нескольких переменных

Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора

Введем вектор первых частных производных:

Этот вектор называется градиентом функции.

Введем матрицу вторых частных производных:

– матрица Гесса

Тогда ряд Тейлора в матричной форме можно записать в виде:

Вектор градиента в каждой точке x направлен по нормали к множеству уровня функции f, проходящего через эту точку.

Множеством уровня называется область значений x, при которых функция f(x) принимает некоторое значение.

В случае двух переменных множество уровня является кривой на плоскости.

Вектор градиента направлен в сторону возрастания функции.

Оптимизация заключается в нахождении максимального и минимального значения функции.

Задача минимизации стандартно записывается в виде:

Решение этой задачи:

Задача нахождения максимума:

Минимизируемая функция называется целевой функцией.

Точки минимума и максимума называются экстремальными точками.

Необходимое условие минимума гладкой функции без ограничения является равенство нулю ее градиента.

Имеет место система уравнений:

Решений может быть несколько, а могут и отсутствовать.

В точке минимума целевой функции матрица Гесса должна быть положительно определенной.

Матрица Гесса в точке x называется положительно определенной, если величина

Дата добавления: 2015-04-24