Суть метода Ньютона

Задан отрезок [а,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условиеF(x0)*F"(x0) > 0). В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Решение контрольных математики методом Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений

Итерационная формула имеет вид:

Итерационный процесс проходит до того времени, пока не будет выполнено условие /F(X)/< e, где e - заданная точность.

Рис. 1. Иллюстрация метода Ньютона

Рис. 1. иллюстрирует работу метода Ньютона. В данном случае вторая производная функции положительна, поэтому в качестве начального приближения выбрана точка хо = b. Как видно из рисунка, метод имеет очень быструю сходимость среди всех методов решения нелинейных уравнений: обычно заданная точность достигается за 2-3 итерации.

Достоинство метода Ньютона: очень быстрая сходимость по сравнению с методом половинного деления и методом простой итерации к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

9. Правило выбора начального приближения x0 метода Ньютона для решения нелинейного уравнения:

В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условиеF(x0)*F"(x0) > 0). В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Решение контрольных математики методом Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений

10. Критерий останова итерационного процесса в методе Ньютона для решения нелиней-ного уравнения:

Итерационный процесс проходит до того времени, пока не будет выполнено условие /F(X)/< e, где e - заданная точность.

11. Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения основан на замене исходного уравнения f(x)=0 на эквивалентное вспомогательное уравнение:

Либо тут имеется ввиду что уравнение не приведено к такому виду: (т.е каждая переменная на своем месте)

Дата добавления: 2015-04-24