Сложная функция. Обратная функция. Теорема о непрерывности обратной функции

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ((у), является обратной по отношению к данной функции у = f(x). Например, х = есть О. ф. по отношению к у = х3.

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)), " yÎE y=f(g(y)), для любого уÎЕ

Û

x=g(f(x)), " xÎD x=g(f(x)), для любого хÎD

Рассмотрим функцию:

y = sin 2 (2x).

Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:

u = 2x --> v = sin u --> y = v 2,

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f 1 (x) --> v = f 2 (u) --> y = f 3 (v),

или короче:

y = f { v [ u (x) ] }.

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия (т.е. функции), используя которые мы получаем y как функцию от x. В этом случае мы говорим, что y – сложная функция от x.

Теорема. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на промежутке Ef=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.

Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E существует единственная точка x∈I такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f−1 определенная на промежутке Е и с множеством значений I.

Покажем, что f−1 строго возрастает на Е. Пусть y1 и y2-- две произвольные точки из Е, такие, что y1<y2 и прообразами этих точек будут точки x1и x2. f−1(y1)=x1, и f−1(y2)=x2.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда когда x1<x2 или тоже самое, когда f−1(y1)<f−1(y2). В силу произвольности y1 и y2 ∈Eделаем вывод, что функция f−1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-04-24