Производные высших пределов

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)

Логарифмическая производная

y=[u(x)]^v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=u^v×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции

Пусть зависимость у от х выражена через параметр t:

Это надо понимать в том смысле, что существует обрат­ная функция для функции x=y(j) и можно написать явную форму зависимости у от х: y=y[j^–1(x)] {2}. Будем искать производную от у по х через производ­ные от х и у по t. Будем употреблять обозначения y'_x,y''_x,x'_t,...,x''_t,y''_t, где буква внизу означает, по какой пере­менной берется производная. В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка y'_x=dy/dx. Но dy=y'_tdt, dx=x'_tdt. Поэтому y'_x=y'_t/x'_t (где x'_t=0) {3}. Для производной второго порядка получаем

Подобным образом можно получить формулы для про­изводных у⁽ⁿ⁾_x по х порядка n>2 через производные от x и у по t.

Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f^(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹ u^(n-1)v' +C_n² u^(n-2)v'' + … +C¹_n u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =å_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где C_n^k =n!/k!×(n-k)!, 0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = å_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.

Дата добавления: 2015-04-24