Формула Гаусса-Остроградского

ВОПРОС. Формула Грина

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости О ху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y₁(x) и y = y₂(x), y₁(x) ≤ y₂(x), a ≤ x ≤ b (рис.13).

y

Рис. 13.

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имею-щие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

.

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(48)

Так как у = у₂(х) – параметрическое выражение кривой МSN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MSN. Аналогично получаем, что

.

Подставим полученные результаты в формулу (48):

(49)

так как контур L представляет собой объединение кривых MSN и NTM.

Так же можно получить, что (50)

Вычтем из равенства (49) равенство (50):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(51)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки. Это направление считается положительным.

Пример 9.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода где по контуру L, состоящему из частей кривых

у = -х ² и у = -1 (направление обхода положительно).

Применим формулу (51):

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Рис. 16.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S₁, заданную уравнением z = f₁(x, y), S₂: z = f₂ (x, y) и S₃ – цилиндричес-кую поверхность с образующей, параллельной оси O z (рис.16).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) или, иначе говоря, вектор

и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S₁ cos(n, z) < 0, на S₂ cos(n, z) > 0, a на S₃

cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыду-щего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

,

.

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, что элементы

площади поверхности S₁ и области D связаны соотношением

dxdy = Δ S (-cos(n, z))). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

(67)

Воспользовавшись формулой (66), задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

(68)

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Пример 14.

Вычислим поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности

Применим формулу Гаусса-Остроградского:

Перейдем к сферическим координатам:

Дата добавления: 2015-04-24