Дивергенция векторного поля

Поток векторного поля

Ротор векторного поля

Определение 21. Ротором или вектором вихря векторного поля A = { A_x, A_y, A_z }, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

. (104)

Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

, (105)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Применяя формулу Стокса, получим:

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

.

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

Рассмотрим векторное поле А (М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единич-

ных нормалей п (М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 22. Поверхностный интеграл 1-го рода

, (106)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А_п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следовательно, и поток изменят знак.

Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (106) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 23. Дивергенцией векторного поля A = { A_x, A_y, A_z }, где

A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется

. (107)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (67) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля { P, Q, R }, а в правой – поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность S:

(108)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограниченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (108) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (109)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

Пример 28.

Определить дивергенцию и ротор векторного поля.

Дата добавления: 2015-04-24