Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ВОПРОС Определение функции комплексного переменного




Соленоидальные и гармонические векторные поля

Потенциальные векторные поля

Определение 27. Векторное поле A = { Ax, Ay, Az } называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u =. (119)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

 

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

 

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным.

Так как из (119) следует, что то

 

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

rot A = 0 – (120)

- условие потенциальности векторного поля.

 

Определение 28. Векторное поле A = { Ax, Ay, Az }, для которого rot A = 0, называется безвихревым.

 

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потенциальное.

 

Пример 30.

Определить, является ли векторное поле потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и в предположении, что в начале координат и = 0.

Вычислим частные производные функций,

 

Следовательно, то есть rot F = 0 – выполнено условие (120), и поле является потенциальным.

Тогда.

 

Определение 29. Векторное поле A = { Ax, Ay, Az } называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

 

div A = 0. (121)

 

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в области, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.

Действительно, если, то

div A =

=

 

 

Определение 30. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.

 

Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.

 

 

Опр. Если каждому значению переменной z = x + iy из множества D по правилу f сопоставляется одно или несколько значений w = u + i v из множества W, то f наз. комплексной функцией комплексного переменного (ФКП). D – область определения, W – область значений функции w = f(z).

Функция наз. однозначной, если каждому значению z ставится в соответствие одно значение w и многозначной в ином случае.

Если w = u + i v есть функция от z = x + iy, то u и v являются действительными функциями от х, у, и наоборот, всякое выражение w =u(x,y)+i v(x,y) есть ФКП от z =x + iy. ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) имеет условную запись w = f(z), которая не означает, что функция зависит от х и у только в комбинации x + i y. Пр. Выражение x + 2i y является функцией переменной z = x + i y.

Пр. Дана функция w = z2 + z.

Найти её значение при z = 1 + i.

Решение. w = (1 + i)2 + (1 + i) = 1 + 3i.

f

(1 + i) (1 + 3i)

Функция наз. ограниченной, если ее модуль |w| = не превосходит некоторого конечного числа. Предел функции lim f(z) = a при z z0 складывается из пределов функций u(x,y), v(x,y) при (x,y) (x0,y0). Функция f(z) непрерывна в точке z, если функции u(x,y), v(x,y) непрерывны в этой точке.

Принципиально новый момент – геометрический смысл ФКП. Т.к. функция f(z) сопоставляет каждой точке z одной плоскости точку w другой плоскости, то её геометрический смысл - отображать плоскость z в плоскость w. При этом линии и фигуры, описанные изменяющейся z, переходят в линии и фигуры совершенно другой конфигурации.

Имеем некоторую кривую F(x,y) = 0 и ФКП w = u(x,y) + i v(x,y). Надо найти отображение этой кривой на плоскость uOv. Переход к новой системе координат определяют уравнения u = u(x,y), v = v(x,y). Совершим обратное преобразование

x = x(u,v), y = y(u,v) и перейдем в уравнении кривой к новым переменным

F(x(u,v), y(u,v)) = 0. Это уравнение определяет отображение исходной кривой.

 

Пр. В какую кривую отображается окружность |z| = с помощью функции w = z2?

Решение. Имеем окружность x2 + y2 = 2 и w = (x + i y)2 = (x2 – y2) + 2xy i. Получаем систему уравнений перехода к новым координатам u = x2 – y2, v = 2xy. Оба уравнения возведем в квадрат и сложим u2 + v2 = (x2 + y2)2 x2 + y2 =. Заменим переменные в уравнении окружности и получим u2 + v2 = 4, т.е. окружность |w| = 2, причем, при прохождении исходной окружности вторая проходится дважды.

 

|z| = eit, (0 < t < 2),

w = z2 = 2 ei 2t

Элементарные функции комплексной переменной.

Основные элементарные функции для КП подлежат переопределению. Наиболее просто вводится степенная функция по формуле Муавра

zn = (x + i y)n = rn(cos n + i sin n)

т.е. Re zn = rn cos n, Im zn = rn sin n, r =, arg zn = n.

Действительные функции ex, sin x, cos x, sh x, ch x представим в виде степенных рядов и заменим в них x на z.

ez = 1 + z + (1)

sin z = z -(2)

cos z = 1 -(3)

sh z = = z + (4)

ch z = = 1 + (5)

Эти ряды абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости, т.к. сходятся ряды из |z|. Cравнение рядов дает простые соотношения для функций. Заменим в (1), (2), (3) z на iz. Тогда из (1) получаем формулу Эйлера (1743 г.)

ei z = 1 + i z - = cos z + i sin z (6)

а в (2) и (3) все слагаемые примут положительный знак и получим

cos iz = ch z, sin iz = i sh z (7)

 

Соотношения (7) после замены z на iz принимают вид

ch iz = cos z, sh iz = i sin z (8)

 

Для КП справедливы формулы

,

sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 (9)

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2

Для гиперболических функций имеются соотношения аналогичные (9) и основное тождество ch2z - sh2z = 1 (10)

 

Определим свойства функций (1) - (5).

 

Функция ez ez = ex + i y = ex ei y = ex (cos y + i sin y) (11)

т.е. Re ez = ex cos y, Im ez = ex sin y, | ez | = ex , y – аргумент, его главное значение arg ez = y + 2k, где целое число k определяется условием - < y + 2k<.

При перемещении вдоль мнимой оси функция ez периодическая, период 2i,

Функция sin z Используем формулы (9), (7), (10)

sin z = sin(x + i y) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos x sh y (12)

т.е. Re sin z = sin x ch y, Im sin z = cos x sh y, arg sin z = arctg [ ctg x th y ],

|sin z| = [sin2x ch2y + cos2x sh2y ]1/2 = [sin2x(1+ sh2y) + cos2x sh2y ]1/2 =

При перемещении вдоль действительной оси функция sin z периодическая, период 2.


Функция cos z Используем формулы (9), (7), (10)

cos z = cos(x + i y) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x ch y - i sin x sh y (13)

т.е. Re cos z = cos x ch y, Im cos z = - sin x sh y, arg cos z = arctg [ - tg x th y ],

|cos z| = [cos2x ch2y + sin2x sh2y ]1/2 =

При перемещении вдоль действительной оси функция cos z периодическая, период 2.

Функция sh z Используем формулы (9*), (8), (10)

sh z = sh(x + i y) = sh x ch iy + ch x sh iy = sh x cos y + i ch x sin y (14)

т.е. Re sh z = sh x cos y, Im sh z = ch x sin y, arg sh z = arctg [ ctg x th y ],

|sh z| = [sh2x cos2y + ch2x sin2y ]1/2 =

При перемещении вдоль мнимой оси функция sh z периодическая, период 2i,

Функция ch z Используем формулы (9*), (8), (10)

ch z = ch(x + i y) = ch x ch iy + sh x sh iy = ch x cos y + i sh x sin y (15)

т.е. Re ch z = ch x cos y, Im ch z = sh x sin y, arg ch z = arctg [ th x tg y ],

|ch z| = [ch2x cos2y + sh2x sin2y ]1/2 =

При перемещении вдоль мнимой оси функция ch z периодическая, период 2i,

Функции tg z, ctg z, sh z, ch z определяют формулы

 

 

Функция ln z Натуральный логарифм числа z = r(cos + i sin) есть КЧ (x + i y), удовлетворяющее равенству

ex + i y = r (cos + i sin) или ex (cos y + i sin y) = r (cos + i sin)

Откуда следует ex = r или x = ln r, y = + 2k, т.е.

Ln [ r (cos + i sin) ] = ln r + i(+ 2k) (16)

Логарифм КЧ равен логарифму его модуля плюс i, умноженное на одно из значений аргумента.

Общая показательная функция az является многозначной az = ez ln a (17)

Функция arcsin z Прямую функцию z = sin w = умножим на 2i ei w и получим квадратное уравнение e2i w - 2i ei w - 1 = 0. Его решение ei w = iz + прологарифмируем и получим

w = arcsin z = -i ln(iz +) (18)

 

Аналогично вычисляются: arccos z = -i ln(z +), arctg z = (19)

 

Производная ФКП.

Производная однозначной ФКП w = f(z) определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента

lim = при (20)

Если предел существует и не зависит от способа стремления к нулю, то функция

w = f(z) наз. аналитической в окрестности точки z.

Определим условие независимости предела (20) от способа стремления к нулю. Процесс определяют два процесса и. Их относительная скорость h может быть различной. Представим отношение = как функцию от h и определим условие обращения этой функции в константу.

Заменим в отношении на дифференциалы и затем перейдем к пределу

 

du = u`x dx + u`y dy, dv = v`xdx + v`ydy

= =

Независимость производной от h выполняется при B = i A или u`y + iv`y = i(u`x + iv`x)

Отсюда следуют необходимые условия дифференцируемости Коши – Римана

, (21)

Если частные производные от u и v непрерывны в области D и выполняется условие Коши – Римана, то функция w = f(z) дифференцируема в этой области.

Поскольку частные производные связаны между собой, то выражение для полной производной имеет разные формы

= А = = = = (22)

 

Пр. Проверим аналитичность функции w = z* по формулам (20) и (21). Пусть движение от точки z +z к точке z идет по кривой y = g(x). Тогда при

lim = lim = lim =

т.е. предел отношения приращений функции и аргумента включает тангенс угла наклона касательной к кривой y = g(x), которая произвольна. Имеем u = x, v = -y. Тогда u’x = 1, v’y = - 1, т.е. условия Коши – Римана (20) для w = z* не выполняются.

 

ФКП w = u(x,y) + i v(x,y), зависящая от двух переменных, всегдаявляется аналитической, если фактически зависит только от их комбинации x + i y, т.е. является функцией одной независимой переменной z. Покажем, что это требование эквивалентно условию Коши – Римана.

Заменим в w(x,y) x на z – iy и продифференцируем по у.

= + i [] =

= -i + i [] =

При выполнении условий Коши – Римана получаем, т.е. функция w не зависит от у, а только от z. Т.о., замена в функции действительной переменной f(x) аргумента х на КП z приводит к аналитической функции f(z).

Пр. Функция w = x + 2i y = z + iy не аналитическая, а функция w = x2 – y2 + 2ixy = z2 - аналитическая.

 

Вычислим производные от нескольких элементарных функций.

1. w = z2. Т.к. u = x2 – y2, v = 2xy, то = = = 2x + i2y = 2z

Аналогично доказывается общая формула = n zn - 1 (23)

2. w = ez. Т.к.по (11) ez = ex (cos y + i sin y), то = = ex cos y + i sin y = ez

Производная от экспоненты равна самой функции = ez (24)

3. w = sin z. Т.к.по (12) sin z = sin x ch y + i cos x sh y, то c учетом (13) имеем

= = cos x ch y - i sin x sh y = cos z (25)

4. w = ln z. Т.к.по (16) ln z = ln () + i [ arctg() + 2k], то

= = + i= = (26)

Аналогично вычисляются следующие производные

(cos z)` = - sin z, (sh z)` = ch z, (ch z)` = sh z,

(arcsin z)` =, (arcos z)` =, (arctg z)` = (27)

Таким образом, производные от основных элементарных функций от действительных и комплексных переменных полностью совпадают, также как и все правила дифференцирования.

Продифференцируем первое уравнение из (21) по х, второе по у и сложим их

, (28)

В результате получаем уравнение Лапласа для u и аналогичным образом для v, т.е. мнимая и действительная части всякой аналитической функции являются функциями гармоническими. Их общее свойство: изменение функции вдоль х и вдоль у идет с одинаковым по модулю ускорением. Но не всякое сочетание двух гармонических функций образует аналитическую функцию. Функции u и v должны быть сопряженными. Зная u можно построить v и наоборот.

 

Пр. Дана действительная часть u(x,y) = x2 – y2 – x дифференцируемой функции f(z), где z = x + iy. Найти функцию f(z).

Решение. Вычисляем. Т.к. (1 условие Коши – Римана), то. Это ДУ интегрируем v(x,y) = 2xy – y +, где - произвольная функция. Это решение дифференцируем по х: = 2y +. Т.к. (2 условие Коши – Римана), то = - 2y -. Но из условия задачи следует. Сравнение производных дает = 0 или = const, т.е сопряженная функция равна v(x,y) = 2xy – y + С.

 

Ответ: f(z) = (x2 – y2 – x) + i (2xy – y +С) = (x2 – y2) +i 2xy + (x + i y) + C = z2 + z + C

Конформное отображение.

Дана аналитическая функция w = f(z), которая сопоставляет точкам области D точки области W. Выберем в D две близко расположенные точки m и m1. Им соответствуют точки М и М1 в W. Отрезки mm1 и MM1 соединяют z с z +z и w с w + w. Этим векторам соответствуют КЧ z и w.

 

 

Отношение модулей векторов равно. Перейдем к пределу m1 m

lim = lim = |f `(z)| (z 0)

т.е. модуль производной показывает во сколько раз длина отрезка в окрестности точки z больше длины отображения этого отрезка.

Пусть m1 приближается к m вдоль линии l. Тогда соответствующее движение М1 к М пойдет по линии L. Аргумент КЧ z определяет угол между вектором mm1 и осью Ох, а аргумент w между вектором ММ1 и осью Ou. Разность этих аргументов определит угол между векторами mm1 и ММ1, причем, разность аргументов равна аргументу частного

arg w - arg z = arg, ()

При m1 m секущие mm1 и ММ1 становятся касательными и предел

lim arg = arg f `(z) (z 0)

определит угол между касательной к l в точке z и касательной к L в точке w, т.е. arg f `(z) дает угол поворота прямой в точке z в результате преобразования f(z). Этот угол не зависит от параметров линии. Поэтому, при прохождении через точку z двух линий l и l1 под углом их отображения L и L1 будут пересекаться под тем же углом.

Сохранение угла приводит к тому, что бесконечно малый треугольник в окрестности точки z отображается в подобный треугольник в плоскости w, т.е. его стороны изменяют длины в отношении |f `(z)|:1 и поворачиваются на угол arg f `(z). Это свойство подобия следует из факта существования производной, т.е. аналитичности функции f(z).

Опр. Конформным (подобным) отображением наз. отображение с помощью аналитической функции.

 

Пр. При помощи функции w = z3 отобразить на плоскость uOv линию y = x.

Решение. Имеем w = (x + iy)3 = x3 + 3x2iy + 3x(iy)2 + (iy)3 = (x3 -3xy2) + (3x2y – y3) i, т.е.

u = x3 - 3xy2, v = 3x2y – y3. Определим значение этих координат для точек линии y = x: u = - 2x3 , v = 2x3, т.е. v = - u. Это биссектриса 2 и 4 квадранта.

Пр. При помощи функции w = 2z +1 отобразить на плоскость uOv окружность x2+y2=1.

Решение. Имеем w = 2(x + iy) + 1 = (2x + 1) + 2yi, т.е. u = (2x + 1), v = 2y. Находим обратное преобразование координат x = (u – 1)/2, y = v/2 и делаем замену переменных в уравнении окружности [(u – 1)/2]2 + [v/2]2 = 1 (u – 1)2 + v2 = 4. Отображение есть окружность с радиусом 2 и центром в точке (1;0).

 

 

12 ВОПРОС Теорема Коши.

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл f(z) dz зависит только от положения конечных точек А и В кривой L и не зависит от формы кривой, или интеграл по замкнутой кривой всегда равен нулю.

f(z) dz = 0 (34)

Доказательство. От криволинейного интеграла по замкнутому контуру на плоскости всегда можно перейти к двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром по формуле Грина P(x,y) dx + Q(x,y) dy =

В нашем случае

udx – v dy = -; vdx + u dy =

но частные производные от аналитической функции f(z) удовлетворяют условиям Коши – Римана,, которые обращают эти интегралы в ноль.

 

Неопределенный интеграл от ФКП.

Рассмотрим выражение F(z) = f() d, где f() – аналитическая функция в области D, а точки z0 и z соединяет произвольная гладкая кривая L. Функция F(z), удовлетворяет равенству

F`(z) = f(z) (35)

Действительно, при h 0

F`(z) = lim = lim = lim =

= f(z) + lim = f(z)

В ближайшей окрестности точки z функция отличается от f(z) на бесконечно малую (h) более высокого порядка, чем h. Т.к. F(z) имеет производную, то она является аналитической и наз. первообразной для f(z). Её значение зависит от выбора точки z0 и она определяется с точностью до константы.

Опр. Совокупность всех первообразных ФКП f(z) наз. неопределенным интегралом

f(z) dz = F(z) + C (36)

Правила вычисления интегралов комплексных и действительных переменных совпадают.

 

Основная теорема интегрального исчисления.

Интеграл от функции f(z), аналитической в D, равен приращению её первообразной функции, при переходе из начальной в конечную точку пути интегрирования

f(z) dz = F(b) - F(a) (37)

 

Действительно, интеграл f() d = F(z) + C дает первообразную с точностью до константы. Пусть zz0 и контур замыкается. Тогда по теореме Коши F(z0) + C = 0 или C = - F(z0), т.е. константа равна первообразной в начальной точке.

Вычислим теперь Пр.1 по формуле (37). f(z) dz = (1 – iz)dz =

=(1 – iz)d(1 – iz) = (1 – iz)2 |1-i = [ (1 + i2)2 – (1 – i)2 ] = -1

Пр.2 Вычислить z2 dz, если прямая АВ соединяет точки zА = 1, zB = i

z2 dz = z2dz = 1/3 z3 |1i = -1/3 (1 + i)

Формула Коши.

Формула Коши выражает значение аналитической функции в любой точке z внутри области определения через её значения на произвольном контуре, окаймляющем точку.

f(z0) = (38)

 

Доказательство. Вокруг выделенной точки z0 проведем окружность радиуса и соединим её прямой АВ с замкнутым контуром L. Контур L’+ = AB + - + BA + L+ , охватывает кольцевую область, где функция f(z)/(z0 – z) аналитическая. По теореме Коши (34) и свойствам (31)

имеем = - - + = 0, т.е. интеграл по внешнему контуру кольцевой области равен интегралу по внутреннему контуру того же направления

= (39)

Вычислим его. = + = J1 + J2

J1 = f(z0) = = i f(z0) = 2i f(z0)

В J2 приращение функции заменим на модуль его максимального значения |f(z)– f(z0)| <, тогда J2 < || = 2. Т.к. радиуспроизволен, то при 0 и 0, т.е. J2 = 0. Отсюда следует формула (38), которая дает явный вид зависимости функции от z0. Продифференцируем (38) по z0 n раз и получим

f(n)(z0) =

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 2250; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.