Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства

ВОПРОС Вычисление вычетов.

Пусть f(z) имеет полюс первого порядка. Тогда она представляется в виде частного f(z) = и ряда Лорана f(z) = + (z). Умножим f(z) на (z – a) и перейдем к пределу z a

lim f(z)(z – a) = lim = A_-1 (46)

т.е. вычет функции с полюсом первого порядка в точке а равен пределу произведения функции на двучлен (z – a) при z a.

При вычислении предела в (2.17) используем правило Лопиталя

lim = lim = lim = = res f(z) (47)

т.е. для определения вычета достаточно значение числителя функции в точке а разделить на значениепроизводной от знаменателя в этой точке

Если f(z) имеет в точке а полюс порядка n, разложение этой функции в ряд Лорана умножим на (z – a)ⁿ

(z – a)ⁿ f(z) = A_-n + A_1-n(z – a) + A_2-n(z – a)² +... + A_-1(z – a)^n-1 + (z – a)ⁿ(z),

(n – 1) раз продифференцируем и получим (n – 1)! А_-1 + [(z – a)ⁿ(z)]^{(n – 1)} . Переход к пределу za исключит второе слагаемое и определит вычет

res f(z) = lim (49)

Пр. Найти вычеты функции f(z) =

Решение. Полюсами являются точки z = 1, z = 3

= (z – 1) = = - ½

= (z – 3) = = 3/2

или по формуле (2.18): g(z) = z, h(z) = (z – 1)(z – 3), h’(z) = 2z – 4, тогда

= = - ½; = = 3/2

Пр. Найти вычеты функции f(z) =

Решение. Здесь z = 2 - полюс третьего порядка, тогда

= = = 2 = 1

Вычисление интегралов.

Пусть f(z) аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением n полюсов a_i расположенных над осью Ох. Кроме того lim z² f(z) = C – конечное число при | z|, т.е. на бесконечности функция становится двукратной нулевой точкой. Тогда определенный интеграл f(x)dx функциидействительной переменнойравен

f(x) dx = 2i(r₁ + r₂ +... + r_n) (50)

где r_i -вычеты функции f(z) в a_i. (2.20) – часть интеграла по замкнутому контуру. Он состоит из действительной оси и полуокружности радиуса R, интеграл вдоль которой равен нулю в силу дополнительного условия.

Пр. Вычислить J =.

Решение. Функция f(x) = аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением полюса 2 порядка в 2i. Проверка дополнительного условия при | z|

lim z²f(z) = lim = lim = { z = r e^it } = lim = 0

т.е. конечное число. Вычисление вычета по (2.18)

= = = =

Ответ. J = 2i = 2i () =

Пр. Вычислить J =, если -окружности:1) |z| = 1, 2) |z| = 3, 3) |z| = 5

Решение. Найдем вычеты относительно полюсов z = 0, z = - 2, z = - 4

= zf(z) = = 1/8

= (z + 2) f(z) = = - ¼

= (z + 4) f(z) = = 1/8

1) Внутри окружности |z| = 1 находится один полюс z = 0 J₁ = 2i() = i/ 4

2) Внутри окружности |z| = 3 находятся полюсы z = 0, z =-2 J₂ = 2i() = -i/ 4

3) Внутри окружности |z| = 5 находятся полюсы z = 0, z =-2, z =-4J₃ = 2i()= 0

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1) x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;

4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;

5) 1∙x = x;

6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);

7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя);

8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Аналогично определяется понятие векторного пространства над произвольным полем K.

Выражение

α1e1 + α2e2 +... + αnen (*)

называется линейной комбинацией векторов e1, e2,...en с коэффициентами α1, α2,...,αn. Линейная комбинация (*) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α1, α2,...,αn отличен от нуля. Векторы e1, e2,...en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (*), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (т. е. если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,...en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,...en называют линейно независимыми.

Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,...en, а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если e1, e2,...en - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = α1e1 + α2e2 +... + αnen.

При этом числа α1, α2,...,αn называют координатами вектора x в данном базисе.

Дата добавления: 2015-04-24