Метод Гаусса. Вопрос 37.Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Вопрос 37.Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Погрешность вычислений

Погрешность вычисляется по формуле

где — шаг сетки, а точка расположена где-то между -тым и -тым узлами. Примером может служить известная формула

.

При формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулы дифференцирования вперед.

Формулы «в конце таблицы» могут быть представлены в общем виде

в которых коэффициенты берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при получается известная формула дифференцирования назад.

Запишем систему Ax=f, в развернутом виде

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что . Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i -м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

.

Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений.

Дата добавления: 2015-04-24