Итерационный метод смещения

Метод простой итерации

Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a₂₁ x_n = b₂

……………………………………..

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +… + a_nn x_n = b_n,

или в векторно-матричном виде:

Ax = B, (1)

где

а11 а12......а1n

а21 а22 -….. а2n

А =................

аn1 аn2 …. ann

b1

b2

B =

bn

x1

x2

x =

xn

1) От узла к узлу с помощью вычислительного шаблона производится расчет новых значений переменных по старым, пока не будут получены значения во всех узлах.

2) Затем производится одновременная замена значений переменных во всех узлах сетки. Поскольку новые значения искомого решения вводятся одновременно во всех узлах сетки, порядок, в котором производятся вычисления, не имеет значения.

3) Вычисления заканчиваются, когда изменение значений переменных во всех узлах становится меньше некоторой заранее заданной величины.

Любой итерационный метод требует задания начального приближенного решения, которое может быть получено любым разумным способом. Часто для получения приближенных значений переменных в узлах сетки пользуются линейной интерполяцией. Очевидно, чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения. Для пояснения метода одновременных смещений рассмотрим пример.

Дата добавления: 2015-04-24