Потенциальность электростатического поля

Вопрос №16.

1.) Условие потенциальности поля.

Силовое поле называется потенциальным, если работа сил поля при перемещении в нем зависит только от начальных и конечных точек пути и не зависит от формы траектории.

или:

если работа сил поля при перемещении по замкнутому контуру равна нулю.

В электростатическое поле потенциально.

А - дифференциальная формулировка

потенциальности поля.

2.) Скалярный потенциал

Так как работа при перемещении заряда не зависит от траектории, то ее можно выразить через скалярную функцию , разность значений которой и определяет эту работу.

Так как всегда, то общим решением уравнения будет:

,

где (3.1)

Знак «-» в (3.1) возник исторически и означает, что направлен в сторону убывания потенциала .

Потенциал описывает тоже поле , т.е. потенциал определен с точностью до произвольной постоянной φ₀ и не имеет определенного числового значения. Поэтому можно произвольно задать в любой точке пространства. Эта процедура называется нормировкой. Обычно (но не обязательно) полагается или

При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 удельная работа:

Таким образом, физический смысл имеет не абсолютное значение потенциала, а разность потенциалов между точками: разность потенциалов между двумя точками равна работе по перемещению единичного положительного заряда между ними.

Здесь мы учли, что

3). Потенциал точечного заряда.

при :

4.) Потенциал системы точечных зарядов.

, где

5.) Потенциал непрерывно распределенного по объему заряда.

Разбиваем весь объем на элементы , в каждом из которых находится заряд , и используем формулу из п.4:

,

где - расстояние от объёма до точки вычисления потенциала .

6.) Потенциал поля поверхностно распределенного заряда.

Аналогично п5:

7.) Свойства скалярного потенциала:

а) Конечность потенциала при распределении заряда с конечной плотностью.

Запишем формулу п.5 в сферических координатах:

Потенциал системы зарядов, распределенной в конечной области пространства с конечной плотностью - конечен.

Напомним, что бесконечно большой потенциал точечного заряда в точке нахождения заряда обусловлен мнимой бесконечностью его плотности заряда .

б) Непрерывность потенциала.

, но - должно быть конечно во всей области пространства.

Т.о. Потенциал является непрерывной и конечной функцией с конечными производными по координатам.

Эти условия и свойства важны при решении дифференциальных уравнений для потенциала .

8.) Теорема Ирншоу:

Не существует такой конфигурации неподвижных зарядов, которая была бы устойчивой, если нет других сил, кроме кулоновских.

Или:

Замкнутая система неподвижных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия (при условии, что между зарядами действуют только силы Кулона).

Дата добавления: 2015-04-24