Билет 2. Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции. Пример, приведенный на рисунке 5.57, позволяет установить преимущество способа вспомогательных сфер перед другими для данного случая. Требуется построить проекции линии пересечения поверхностей конуса вращения и кругового кольца (на рисунке 5.57 изображена половина кольца). В левой части чертежа показано применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных оси конуса. Эти плоскости рассекают поверхность конуса по гиперболам, которые приходится строить по точкам, а кольцо – по полуокружностям радиусов О₁^'А^' и О₁^'А₁^'. Например, построив на фронтальной проекции гиперболу – линию пересечения конической поверхности плоскостью α, проводим дугу окружности радиуса О₁^"А^"=О₁^'А^', находим точки К^" и М^" на фронтальной проекции и соответствующие им горизонтальные проекции К^' и М^'.

Приходится строить ряд гипербол, что усложняет решение и уменьшает точность

Построение упрощается и уточняется, если применить вспомогательные сферы, центры которых должны быть на оси конуса. Сферы надо подбирать так, чтобы они пересекали кольцо по окружностям. Получить это можно следующим образом.

Возьмем плоскость α₁, проходящую через ось кольца и перпендикулярную к плоскости П₂. Она пересечет кольцо по окружности радиуса 1Е^"₁ с центром в точке 1; на плоскость П₂ эта окружность проецируется в виде отрезка прямой. Где должны находиться центры сфер, которые можно провести через эту окружность? Очевидно, они лежат на прямой, проходящей через центр окружности 1 и перпендикулярной к плоскости α₁. Эта прямая на фронтальной проекции изображается линией 1С^"₁, перпендикулярной к α₁ (и, следовательно, касательной к осевой окружности кольца, изображенной на рисунке штрихпунктирной линией).

Итак, мы должны провести сферу. Центр которой лежит, во-первых, на оси конуса, а во-вторых, – на прямой 1С^"₁. Такой центр С^"₁ вполне определяется двумя этими прямыми, и мы можем провести сферу с центром С^"₁ и радиусом С^"₁Е^"₁; на плоскости π₂ показана часть проекции сферы – дуга окружности. В пересечении сферы с конусом получается окружность, проецирующаяся в виде отрезка, проходящего через точку В"1; пересечение же с кольцом – по указанной выше окружности, проецирующейся в виде отрезка на следе α₁^'. В пересечении этих прямых и найдена точка L^" – проекция одной из точек искомой линии.

Аналогично, при помощи плоскости α₂ и точек 2, С₂^", В₁^", Е₁^" найдена точка N^". Для построения горизонтальных проекций этих точек можно использовать параллели конической поверхности, как показано для точек L^' и N^'.

Можно представить себе, что прямые С₁^"1 и С₁^"2 являются осями некоторых цилиндров, нормальное сечение которых совпадает с нормальным сечением кольца. Если взять точки 1 и 2 весьма близко друг к другу и представить себе, что таких точек весьма много, а следовательно, много проведенных через эти точки осей и много цилиндров, то поверхность кольца окажется замененной последовательно расположенными цилиндрическими поверхностями. Поэтому задача сведется к нахождению точек, общих для поверхности конуса и поверхности каждого такого "мгновенного цилиндра". Оси "мгновенных цилиндров" пересекают ось конуса в точках, которые принимаются за центры вспомогательных сфер, пересекающих конус и "мгновенный цилиндр" по окружностям; проекции этих окружностей на пл. π₂ представляют собой отрезки прямых линий. Окружности, по которым вспомогательные сферы пересекают "мгновенные цилиндры", являются теми нормальными сечениями кольца, от которых и началось построение.

2. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций. Вначале прямые a и b необходимо сделать прямыми уровня. Для этого П4 необходимо расположить параллельно a1 и b1. Затем названные прямые необходимо расположить перпендикулярно П5. Расстояние между а5 и b5 будет натуральной величиной между параллельными прямыми a и b (рис. 6.2).

Дата добавления: 2015-04-24