Базис пространства векторов. Координаты вектора в базисе

Произведение вектора на число

Сложение векторов

Сложение векторов и умножение их на число

Определение равенства векторов

1.

2. и лежат на параллельных прямых

3. и одинаковы направлены ().

Обозначения:

- множество свободных векторов в пространстве

- множество свободных векторов на некоторой плоскости

[_]

Пусть даны векторы и . Суммой векторов и называется вектор , который может быть получен следующим образом:

Вектор переносится параллельным переносом так, чтобы конец вектора и начало вектора совпали. Начало результирующего вектора совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора .

Свойства суммы

1.

2.

Пусть дан вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , такой что:

1. , если

2. , если

3. .

Свойства умножения на число

1.

2.

3.

[_]

Вектора и называются коллинеарными, если , т.е. их представителей можно взять на одной прямой.

Вектора , и называются компланарными, если их представителей можно взять на одной плоскости.

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , .

Базисом пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Теорема

Любой вектор () раскладывается в линейную комбинацию базисных векторов ():

()

()

Числа () называются координатами вектора в базисе.

Доказательство:

Для :

Для :

(см. выше)

Подставляем, получаем:

Теорема

Координаты вектора в заданном базисе определены неоднозначно.

Дата добавления: 2015-04-24