Вопрос№26

Вариационные ряды - это раздел математической статистики - науки о методах обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений в социальных, экономических и технических системах.

Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения (количественные или качественные) принял в результате наблюдений признак X, который интересует исследователя.

Признак X в процессе наблюдений может принимать конкретные значения, которые обозначаются буквами латинского алфавита x_i
с индексом i, указывающим его номер в ряде наблюдений, где i Î[1,n].

Различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки – это признаки, которые принимают отдельные значения x_i , отличающиеся друг от друга на некоторую конкретную величину (обычно целое значение или число с одним дробным разрядом).
Значения дискретного признака в ряде наблюдений могут совпадать. Различные значения признака Х называются вариантами и характеризуются частотой варианта mx. Частота варианта mx_j показывает, сколько раз встречается данное значение признака x_j в ряде наблюдений. Сумма частот вариантов равна общему количеству наблюдений признака n. По данным наблюдений за дискретным признаком строят дискретный вариационный ряд.

Непрерывные признаки - это признаки, которые принимают любые значения в некотором числовом интервале, отличаясь один от другого на сколь угодно малую величину. Количество возможных значений непрерывного признака бесконечно. Значения непрерывного признака задаются интервалами, которые характеризуются интервальной частотой m. Интервальная частота m_j показывает, сколько значений признака X принадлежит данному j -му интервалу (не выходит по значению за границы интервала). По данным наблюдений за непрерывным признаком строят интервальный вариационный ряд.

Во многих исследованиях часто имеют дело с разнообразными совокупностями вещей и явлений, которые по одним признакам представляют собой единое целое, а по другим подразделяются на отдельные группы. Такие совокупности рассматривались ранее.

Так, в примере рассмотренном в разделе Первичная обработка результатов измерений ученики 3-го класса - это определенная совокупность элементов (учеников), представляющих собой единое целое, поскольку элементы (ученики), которые ее составляют, объединены определенным признаком - все они учатся в 3-м классе. В то же время они подразделяются на отдельные группы по другим признакам: полу, скорости чтения, успешности обучения и т. п.

Участники областной олимпиады по математике образуют единое целое. В то же время они могут быть разделены на группы: по регионам, где они учатся; по успехам выступления на областной олимпиаде; по классам, в которых они учатся; по характеру математических способностей и т. п.

Совокупность, состоящая из однородных элементов, имеющих качественную общность, будем называть статистической совокупностью. Элементы, из которых состоит данная совокупность, называют ее членами. Количество элементов в совокупности называют его объемом. Объем совокупности будем обозначать через n.

Признак, по которому совокупность подразделяют на группы называют аргументом. Признак (аргумент) будем обозначать прописными латинскими буквами X, Y, Z,.... Отдельные числовые значения аргумента называют его вариантами и обозначают через x ₁, x ₂,..., x_k. (Скорость чтения - признак, его значения - x ₁ = 110, x ₂ = 92,..., x ₃₆ = 25.) Количество элементов совокупности, имеющих одинаковое числовое значение, мы назвали частотой данной варианты; частоты обозначили через n ₁, n ₂,..., n_k; n ₁ + n ₂ +... + n_k = n. Отношение частоты варианты к объему совокупности назвали относительной частотой варианты и обозначили через v ₁, v ₂,..., v_k; v ₁ + v ₂ +... + v_k = 1.

В исследованиях, изучая тот или иной признак, часто приходится сталкиваться с такими совокупностями, члены которых принимают различные значения (наряду с одинаковыми). Такую переменчивость значений признака называют его варьированием. Например, варьирование мы наблюдаем, изучая успешность учащихся по предмету, сформированность некоторого качества личности и т. п.

Если две варианты признака в данной совокупности могут отличаться одна от другой не менее чем на определенное число или вообще совпадают, то такие данные называют дискретными (число учеников в классах школы; количество баллов, которые набирает ученик при тестировании, и т. п.). Если же две варианты признака могут отличаться одна от другой на произвольно малую величину, то такие данные называют непрерывными (процент учеников, которые имеют достаточный уровень подготовки по предмету в разных классах; время, за которое ученики пробежали 60 м на соревнованиях; продолжительность работы электронных ламп; температура воздуха и т. п.).

Ряд значений признака, или вариант, полученных вследствие массового обследования однородных вещей или явлений, размещенных в порядке возрастания или убывания их величин, вместе с соответствующими частотами (или относительными частотами) называют вариационным рядом.

Если в вариационном ряде значения признака (варианты) заданы в виде отдельных конкретных чисел, то такой ряд называют дискретным.

Если в вариационном ряде значения признака заданы в виде интервалов, то такой ряд называют интервальным.

Если в интервальном вариационном ряде в двух последовательных интервалах верхнее предельное значение признака одного интервала равняется нижнему предельному значению второго, условно будем считать, что это число принадлежит второму интервалу. Разность между верхней и нижней границами интервала называют шириной этого интервала.

Рассматриваются еще так называемые кумулятивные вариационные ряды. В таких рядах вместо частот или относительных частот определенных вариант (или интервалов) записаны накопленные частоты или относительные частоты. Например, строки 1 и 4 или 1 и 6 в таблице образуют кумулятивный вариационный ряд.

Для анализа статистических данных, содержащихся в вариационном ряде, целесообразно ввести такую числовую характеристику, как плотность распределения.

Если в интервальном вариационном ряде ширина интервала отлична от единицы, то определяют абсолютную и относительную плотности распределения.

Отношение частоты n_i интервала к ширине h_i этого интервала называют абсолютной плотностью распределения для i -го интервала. Будем обозначать ее символом p_i: . Абсолютная плотность распределения - это частота, приходящаяся на единицу ширины интервала. Например, по данным таблицы плотность распределения в интервале (70; 76) равна .

Относительной плотностью распределения π_i для i -го интервала называют отношение относительной частоты интервала к его ширине: . По данным таблицы относительная плотность распределения для интервала (77; 83) равна .

Вариационный ряд – однородная в качественном отношении статистическая совокупность, отдельные единицы которой характеризуют количественные различия изучаемого признака или явления. Количественная вариация может быть двух типов: прерывная (дискретная) и непрерывная.

Прерывный (дискретный) признак выражается только целым числом и не может иметь никаких промежуточных значений (например, число посещений, численность населения участка, частота пульса, число детей в семье).

Непрерывный признак может принимать любые значения в определенных пределах, в том числе и дробные, и выражается лишь приближенно (вес, рост, АД, время).

Варианта (V) - цифровое значение каждого отдельного признака или явления, входящего в вариационный ряд. Варианты, расположенные в порядке возрастания или убывания количественной характеристики признака, составляют ранжированный вариационный ряд.

При небольшом числе наблюдений п варианты достаточно просто ранжировать. Вариационный ряд, где каждая варианта встречается лишь один раз (т. е. частоты вариант равны единице), называется простым вариационным рядом.

При увеличении числа наблюдений обычно отмечается повторение отдельных вариант. В этом случае для построения вариационного ряда необходимо выписать все значения вариант, ранжировав их, а затем подсчитать число повторений (частоту р) каждой варианты и записать их рядом с соответствующими значениями вариант.

Вариационный ряд, где указано, сколько раз встречается каждая варианта, называется сгруппированным вариационным рядом.

Главными составными элементами сгруппированного вариационного ряда являются:

V — варианты — количественные значения варьируемого признака;

р — частоты — число повторений каждой варианты;

n — общее число наблюдений (n равно сумме частот, т. е. n=Σp, где,

Сводными характеристиками значений вариант служат средняя арифметическая величина М, мода Мо и медиана Me.

Модой Мо называют значение наиболее часто встречающейся варианты.

Медианой Me — значение варианты, делящей вариационный ряд пополам (с каждой стороны медианы находится половина вариант). В редких случаях, когда имеется симметричный вариационный ряд, мода и медиана равны между собой и совпадают со значением средней арифметической. Медиана применяется в статистике сравнительно редко.

Наиболее общей характеристикой всех значений вариант является средняя арифметическая величина. При обработке вариационного ряда вычисляют среднее квадратическое отклонение и ошибку репрезентативности (погрешность), также являющиеся параметрами оценки вариационного ряда.

Дата добавления: 2015-04-24