Теорема о сходимости метода простой итерации

Метод итераций. Теорема Банаха.

Метод простой итерации (метод последовательных повторений)

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение f(x) = 0 преобразовать к виду, удобному для итерации x = φ(x). Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция φ (x) называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

Пусть в некоторой σ – окрестности корна функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где – постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной σ – окрестности иррациональной последовательности не выходит из окрестности, метод сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности ε >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство

Если величина 0 <q<0,5, то можно использовать более простой критерий окончания итераций:

Внимание. Ключевым моментом в применении метода простой итерации является эквивалентное преобразование уравнения к новой форме. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой

итерации, состоит в следующем:

исходное уравнение приводится к виду x = x - α f(x). Предположим дополнительно, что производная f’ непрерывна и

положительна на заданном отрезке, т.е. справедливо выполнение неравенства m ≤ f’(x) ≤ M на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра α = 2/(m+M) метод сходится и значение

Если же известна для производной только оценка сверху, то положим α = 1/ M и q = 1 – m/M – тоже менее единицы.

Дата добавления: 2015-04-24