Вторая интерполяционная формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона

Полученное выражение называется первой интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед.

Интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим.

Разности D ^kу_i вычисляются через значение функции у_i, у_{i +} 1,..., у_{i + k}, причем i + k? n, поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить разности высших порядков (k? n - i). Например, при i = n - 3 в можно учесть только D у, D ²у, D ³у.

Если в формуле положить n = 1, то получим формулу линейной интерполяции:

P₁ (x) = у₀+t D у₀.

При n = 2 будем иметь формулу квадратичной интерполяции:

P₂ (x) = у₀+t D у₀+ .

Формулу называют второй интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад.

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Дата добавления: 2015-04-24