Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала (с док-вом). Следствия

Теорема (о продолжении линейного функционала). Пусть на конечном пространстве определенна функция , которая является выпуклой и положительно-однородной, т.е. выполнены соотношения: . Пусть также L линейное подпространство в на котором определена линейная функция такая, что . Тогда существует линейная функция («продолжение »), определенная на всем пространстве , которая совпадает с исходной на подпространстве и мажорируется функцией уже на всем , т.е.

Док-во: Если совпадает со всем , то док-ть нечего Если это не так, то Рассмотрим пару произвольных точек х,у поэтому получаем следующее соотношение

которые можно переписать в виде след-щего нер-ва:

выполненного для любой пары х,у .

Из неравенства (а) выводим:

Аналогичные действия проделываем с нер-вом(б).

Итак, функция ℓ(.) была продолжена с исходного линейного подпространства L на линейное подпространство большей размерности с сохранением верхней оценки значениями выпуклой положительно-однородной функции p (x). Очевидно, что либо либо указанную процедуру продолжения линейной функции можно повторить. В итоге, благодаря конечной размерности пространства за конечное число “продолжений” будет построена требуемая линейная функция, определенная на всем Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-04-24