Интегральные уравнения Вольтерра второго рода. Представление решения через резольвенту ядра

Принцип сжимающих отображений (с док-ом) и его применение.

Принцип Сжимающих отображений: Сжимающее отображение метрического пространства в себя имеет неподвижную точку, и притом только одну.

Интегральные уравнения – уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. Ур-ия 1-го и 2-го рода с пост-ми пределами интегрирования наз-ся ур-ми Фретгольма, а ур-ния с переменным верхним пределом наз-ся ур-ми Вольтерра. Линейное инт-ое ур-ние Вольтерра первого рода имеет вид:

Линейное инт-ое ур-ние Вольтерра второго рода: . Здесь - неизвестная искомая ф-ция; – заданная непрерывная ф-ция, называемая свободным членом интегрального ур-ния; - заданная непрерывная ф-ция, называемая ядром интегрального ур-ния. Ур-ния второго рода иногда записывают с параметром :

или .

Теорема (метод резольвент для уравнения Вольтерра второго рода): пусть ядро k (t, s) и свободный член f (t) уравнения квадратично суммируемы, тогда при любом это уравнение имеет единственное суммируемое решение , которое может быть получено, как сумма ряда Неймана

где

Замечание: с помощью резольвенты решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода записывается в виде

Дата добавления: 2015-04-24