Интегральные уравнения Фредгольма. Случай вырожденных ядер

Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Методика решения интегральных уравнений с вырожденным ядром.

Ядро K(x,t), представимое конечной суммой вида , называется вырожденным ядром. Здесь функции , n = 1,2,...,N будем считать непрерывными в квадрате a ≤ x, t≤b и линейно-независимыми между собой.

Рассмотрим интегральное уравнение с вырожденным ядром или (9) где Подставим в виде суммы (9) в последнее соотношение. Получим (10)

В результате мы пришли к системе однородных алгебраических уравнений (10) относительно . Нас интересует нетривиальное решение системы (10). Последнее возможно, если Это соотношение является алгебраическим уравнением N -й степени относительно . Отсюда следует утверждение: вырожденное ядро имеет конечное число собственных значений.

Линейным интегра л ьным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида где – неизвестная функция, K(x,t) и f(x) – известные функции, x, t – действительные переменные, изменяющиеся в интервале – числовой множитель.

Функция K(x,t) называется ядром интегрального уравнения (1). Предполагается, что ядро K(x,t) определено в квадрате на плоскости (x, t) и непрерывно в , либо его разрывы таковы, что двойной интеграл имеет конечное значение.

Если f(x) ≠0, то уравнение (1) называется неоднородным; если же f(x)= 0, то уравнение (1) принимает вид (2)и называется однородным.

Интегральное уравнение вида (3) не содержащее искомой функции вне интеграла, называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода.

Решением интегральных уравнений (1), (2), (3) называется любая функция , при подстановке которой в уравнения последние обращаются в тождество относительно x ∈ (a,b).

Дата добавления: 2015-04-24