Ранг матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы (с доказательством)

1) Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо её k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Минор, имеющий порядок r, называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называется соответственно базисными строками и столбцами.

Т.е. ранг матрицы не изменится если в матрице следующие преобразования:

5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.

6) Решение систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера (с выводом).

Матричный метод.

Вывод: Матрица-столбец X неизвестных равна произведению обратной матрицы системы на столбец свободных членов.

Формулы Крамера.

Последовательно заменяются столбцы системы столбцом свободных членов. Определители = значения неизвестных, соответственно заменённым столбцам.

Дата добавления: 2015-04-24