Линейная зависимость векторов

Определение линейного пространства. Примеры.

Кольцо многочленов. Вопросы делимости в кольце многочленов, корни многочленов.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 (x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x (x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элементα· x, называемый произведением α и x, причём:

α·(β · x) = (α·β) · x − умножение на число ассоциативно:;

1 · x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α· x + α· y − умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β )· x = α· x + β · x − умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примером линейного пространства, является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R₂ = { x = x ₁ · i + x ₂ · j}:

x = x ₁ · i + x ₂ · j, y = y ₁ · i + y ₂ · j,

x + y = (x ₁+ y ₁) · i + (x ₂+ y ₂) · j, α · x = (αx ₁) · i + (αx ₂) · j,

0 = 0 · i + 0 · j, − x = (− x ₁) · i +(− x ₂) · j.

Определение Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при .

Дата добавления: 2015-04-24