КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Укажем некоторые виды дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка. I. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка включительно: Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда уравнение примет вид
III. Уравнение не содержит независимого переменного:
Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по
Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.
IV. Уравнение , однородное относительно аргументов , т.е.
Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой , где — новая неизвестная функция от .
V. Уравнение, записанное в дифференциалах,
в котором функция однородна относительно своих аргументов , если считать и — первого измерения, а и т.д. — измерения . Тогда будет иметь измерение , – измерение и т.д.
Для понижения порядка применятся подстановка . В результате получается дифференциальное уравнение между и , не содержащее явно , т. е допускающее понижение порядка не единицу (случай III).
Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения. 46.. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка где р и q постоянны. Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 3.5). Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде где k - некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1), получим: Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (4.1) (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и у соответственно на k2, k и 1). При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая. Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) действительные и различные: В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции y1=ek1x и у2=еk2x. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан Следовательно, общее решение уравнения (4.1), согласно формуле (3.16), имеет вид Пример 4.1. Ре
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 582; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |