Понятие вектора в абстрактной алгебре

Пусть — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть — некоторая абелева группа с единицей . Если существует операция , такая что для любых и для любых выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

тогда называется векторным пространством над полем , элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция — умножением вектора на скаляр.

[править]Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространстве
Является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. , где Rⁿ — декартова степень множества R; для операцию «+» зададим следующим образом: (a ₁,..., a_n) + (b ₁,..., b_n) = (a ₁ + b ₁,..., a_n + b_n), нейтральный элемент: =(0,…,0), обратный элемент: − (a ₁,..., a_n) = (− a ₁,..., − a_n); операцию умножения на скаляр: a (a ₁,..., a_n) = (a * a ₁,..., a * a_n). Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства над полем действительных чисел .

n-мерное пространство задается как Rⁿ — декартова степень множества действительных чисел, точка -как кортеж (a ₁,..., a_n) длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в геометрии(связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор - вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке M ₀ = (m ₁,..., m_n), заданный свободным вектором с пространственными координатами (a ₁,..., a_n) — множество точек (x ₁,..., x_n), удовлетворяющее условию:

Отрезок MN — множество всех точек O(удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство Rⁿ становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трехмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: , [1]
(где a_i, b_i — пространственные координаты векторов )

Длина вектора: , [2]
(где X_i — пространственные координаты вектора.)

Угол между 2-мя векторами (где a_i, b_i — пространственные координаты векторов ) определяется через скалярное произведение:
, [3]

[править]Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где F — это поле, над которым определенно линейное пространство L.

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис и . Причём: . Матрица P_ef, полученная из коэффициентов p_ij называться матрицей перехода от базиса e а базису f и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: . Вектора могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

[править]Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: .
Пусть есть число λ, тогда произведением вектора на число λ будет называться следующий вектор:
Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

[править]Евклидовы и нормированные пространства

Основная статья: Евклидово пространство

Основная статья: Нормированное пространство

Функция (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Линейность по первому аргументу:

2. Эрмитова симметричность: (в случае если вектора определены над полем действительных чисел, то )

3. Положительная определённость: тогда и только тогда, когда ,

называется скалярным произведением вектора на вектор . Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два не нулевых вектора называются ортогональными, если .
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если . Базис называется ортонормированным, если , где δ _ij — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:
, где A_e — матрица Грамма.
В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если , , то
в случае действительного пространства и в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. тогда и только тогда, когда .

2. .

3. .

Угол ϕ между векторами определяется, как

Равенство векторов Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно. Теорема Если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Доказательство. Пусть AB и CD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине. Параллельный перенос, переводящий точку A` в точку A, совмещает луч A`B` с лучом AB, потому что они сонаправлены. Отрезка AB и A`B` равны, поэтому точка B совмещается с точкой B`. Значит, параллельный перенос переводит вектор A`B` в вектор AB. Значит векторы равны. Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-04-24