Вероятностное пространство

Билет №33. Алгебра и сигма-алгебра событий. Определение вероятности (по Колмогорову).

Билет №32. Операции над событиями (сложение, умножение, разность). Противоположное событие. Несовместные события.

Билет №31. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. События (определение события, достоверное и невозможное события, равенство событий, частный случай).

Случайный эксперимент – это испытание, опыт, исход которого нельзя предугадать заранее. Множество всевозможных событий – пространство элементарных событий.

Ω - пространство элементарных событий.

Событие – результат испытания, опыта.

Случайное событие – всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти.

Невозможное событие – событие, которое соответствует пустому множеству; событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания.

Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. А=В

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В.

Сложение вероятностей – вероятность появления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A-B)-P(A)+P(B)

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P(A-B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Сумма вероятностей событий А1,А2…Аn, образующие полную группу, равна единице

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В одновременно.

Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба события.

События событий А и В называются независимыми, если появление одного события не мешает появлению другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле

Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Несовместные события – появление одного события исключает появление другого в одном и том же испытании.

Множество, элементами которого задаются подмножества (необязательно все), называется алгеброй (алгебра событий), если оно удовлетворяет следующие условия:

(А1) алгебра событий содержит достоверное событие

(А2) вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие

(А3) вместе с любыми двумя любыми событиями алгебра содержит их объединение

Множество , элементами которого являются подмножества множества Ω (не обязательно все), называется σ-алгеброй, если выполнены следующие условия:

А1: σ-алгебра содержит достоверное событие

А2: вместе с любым событием σ-алгебра содержит противоположное событие

Вместе с любым счетным набором событий σ-алгебра содержит все объединения

Вопрос № 34. Частотное определение вероятности. Классическое определение вероятности. Проверка выполнения аксиом. Примеры решения задач с использованием

классического определения.

Статистическое определение вероятности

Частотой события А (относительной частотой) называется величина, равная отношению числа опытов, в которых событие А произошло, ко всей серии опытов, т.е. ϻ_nA=

Классическая вероятность. Если событие А является суммой m элементарных событий, то его вероятностью называется дробь m/n, где n – число всех элементарных событий. Вероятность события А обозначают Р(А).

При бросании кубика может произойти шесть различных исходов (может выпасть число от 1-6).Назовем исход благоприятным для случайного события А,если событие А следует из такого исхода. Пусть событие А состоит в том, что выпавшее на грани кубика число четно. Благоприятными для этого события будут три исхода эксперимента - двойка, четверка и шестерка. исходы называются равновозможными, если они имеют одинаковые шансы. равновозможность исходов есть синоним некой симметрии случайного эксперимента. Например, чтобы все исходы бросания кубика были равновозможными его грани должны быть равноправными те кубик должен быть абсолютно симметричным по форме и однородным по внутреннему строению.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных исходов м(А) к общему числу Т несовместных(не могут наступить одновременно) равновозможных исходов.

Аксиомы (из свойств относительной частоты)

А1: р(Ω)=1 вероятность достоверного события равна 1

Доказательство:

р(Ω)= = = = 1 = 1

A2: 0≤р(А)≤1

доказательство

Р(А)=

А3: если А и В несовместны, то р(А+В)=р(А)+р(В)

Доказательство:

Р(А+В)= = = =р(А)+р(В)

Пример

Бросание кубика

В этом эксперименте может случиться 6 исходов, они несовместны и равновозможны. Значит, вероятность выпадения каждой грани равна 1/6. Пусть событие А состоит в том, что выпадет четное число. Для этого события благоприятны три исхода - двойка, четверка и шестерка значит Р(А)=3/6=1/2.

Дата добавления: 2015-04-24