Вектора. Основные понятия

26.

6.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Стоимость полной версии книги 14,99р. (на 10.04.2014).

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картойами или другим удобным Вам способом.

7. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ— центральный раздел логики, в котором изучается субъектно-предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ— раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями.

Семантическая категория – это класс выражений с однотипными предметными значениями, при этом включающий все выражения с предметным значением данного типа.

8. В концепции основных законов мышления собственно логическое содержание смешивалось с теоретико-познавательным и с расплывчатыми методологическими рекомендациями (требованиями обосновывать каждое выдвигаемое утверждение, доводить исследование любого вопроса до полной определенности, выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам и т.п.).

ЗАКОН МЫШЛЕНИЯ

— термин традиционной логики, обозначавший требование к логически совершенному мышлению, имеющее формальный характер, т.е. не зависящее от конкретного содержания мыслей.

9. Зако́н то́ждества — закон логики, согласно которому в процессе рассуждения каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) должно употребляться в одном и том же смысле.

10. Закон непротиворечия (закон противоречия) — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере, одно из них ложно.

11. Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, то есть «третьего не дано») — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов «классической математики».

12. Зако́н доста́точного основа́ния— закон логики, который формулируется следующим образом: всякое положение для того, чтобы считаться вполне достоверным, должно быть доказанным, т. е. должны быть известны достаточные основания, в силу которых оно считается истинным.

13. Понятие — это форма мышления, отражающая предметы и явления в их существенных признаках.

14. Понятие - форма мышления, с помощью которой обобщаются предметы по их существенным признакам. Понятие как форма мышления отражает предметы и их совокупности в абстрактной, обобщенной форме на основании их существенных признаков. Понятия не существуют в объективном мире. Они возникают в сознании человека и заменяют предметы и явления объективного мира, являясь их идеальными образами.

Образование понятий связано с определенными действиями мышления, которые позволяют установить общие признаки у предметов, выделив в них существенные и несущественные признаки, создать из выделенных существенных признаков определенное единство.

15. Понятие не существует без слова, мышление в понятиях — без языка. Единство мышления и языка означает не только то, что они неотделимы, не существуют друг без друга, но также и то, что они не тождественны. Слово есть материальная оболочка понятия, а понятие — идеальное содержание слова, таким образом, в единстве слова и понятия содержатся также различие и противоречие материального и духовного.

16. Совокупность свойств, присущих всем предметам, обозначаемым данным именем, называется содержанием имени.Множество предметов, обладающих признаками, входящими в содержание имени, образуют объем имени.

Совокупность предметов, имеющих общие признаки, называется классом (множеством).

Представление о множестве формируется на базе изучения некоторого.класса предметов.

17. В современной логике принято делить понятия на: ясные и размытые; единичные и общие; собирательные и несобирательные; конкретные и абстрактные; положительные и отрицательные; безотносительные и соотносительные. Перейдем к рассмотрению каждого вида понятий отдельно.

18. Отношения между понятиями изображают с помощью круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия. Кругом изображается и единичное понятие.

19. Обобщить понятие — перейти от понятия с меньшим объемом, но с большим содержанием к понятию с большим объемом, но с меньшим содержанием.

Ограничить понятие — перейти от понятия с большим объемом, но с меньшим содержанием, к понятию с меньшим объемом, но с большим содержанием.

20. Поня́тие — отображённое в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений предметов или явлений; мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специфическим для них признакам.

21. Деление понятий — это логическая операция, посредством которой объем делимого понятия распределяется по объемам новых понятий, каждое из которых представляет частный случай исходного понятия.

С практической точки зрения наиболее существенными можно считать следующие виды делений.

·Деление понятия по видоизменению признака

·Дихотомия

·Классификация

22. Чтобы деление было правильным, необходимо выполнять ряд условий.

Первое условие состоит в том, чтобы каждое конкретное деление производилось по одному и тому же, общему для новых понятий, основанию (признаку). Например, неверно делить людей на предпринимателей, государственных служащих и красивых мужчин. Если будет нарушено это условие, то произойдет перекрещивание объемов понятий, которые появятся в результате деления.

Второе условие состоит в том, чтобы деление было соразмерным, то есть чтобы объем делимого понятия был в точности равен сумме объемов членов деления (например, рынок делится на внутренний и внешний). Нарушение этого правила ведет к ошибкам двух видов:

неполное деление, когда перечисляются не все виды данного родового понятия;

избыточное деление, с лишними членами деления (например, когда сделки делятся на односторонние, многосторонние и недействительные; или пошлины делятся на таможенные, вывозные, ввозные и импортные).

Третье условие состоит в том, чтобы члены деления исключали друг друга, то есть не имели общих элементов, были соподчиненными понятиями. Например, неверно деление документов на секретные, служебные и поддельные. Это следствие смешения различных оснований деления.

Четвертое условие — состоит в том, чтобы деление было непрерывным. Нельзя делать скачки в делении. Не верно, если мы скажем: «Торговля делится на оптовую, государственную и частную розничную». Правильным будет разделить торговлю на оптовую и розничную, а затем уже, например, розничную торговлю разделить на государственную и частную.

Деление, свободное от ошибок, — дело нелегкое. Оно осуществимо, если признак, по которому производится распределение рода на виды, точен и отчетлив, а все возможные изменения признаков легко обозримы и могут быть установлены исчерпывающим образом.

23. Большое значение в исследовании имеет другой формально-логический метод — классификация. Классификация — это разделение явлений, а сле­довательно, и понятий, характеризующих их, на определенные классы, поз­воляющие увидеть специфику явлений, их разнообразие, свойства, связи и зависимости, общее и специфическое и посредством этого вникнуть в их сущность.

Есть два вида классификации: деление общего и разделение целого.

24. Интенсиональное определение

Должно содержать:

— описание свойств, характеристик объектов, выделяющих определяемое в сравнении с другими объектами соответственно;

— пояснения смысла термина указанием правил выделения его среди прочего;

— указание ближайшего понятия и отличительных признаков по сравнению с другими определениями других понятий.

К интенсиональному виду определений относятся собирательное и представительное определения.

Реальное определение

Отображает существенные признаки, свойства и характеристики объекта с целью формирования отличий от других объектов.

Аксиоматическое определение

Является фундаментальным, строится из суждений (логических выражений) как (конъюнктивная) совокупность утверждений, содержащих определяемое и определяющие понятия в этих утверждениях.

Номинальное определение

Определяет термин, обозначающий понятие, с помощью номинальных определений вводятся новые термины, вводятся знаки, обозначающие термины.

Явное определение

Когда даны дефидент и дефиниция, и между ними устанавливается отношение равенства. Родовой признак указывает на тот круг предметов, из числа которых надо выделить определяемый предмет «прибор». (напр. «барометр — это прибор для измерения атмосферного давления»)

Неявное определение

На место дефиниции подставляется контекст или набор аксиом.

Генетическое определение

Определение предмета путем указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой. Пример: «кислоты — это вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода».

Контекстуальное определение

Позволяет понять незнакомое слово через контекст (уравнение).

Индуктивное (рекурсивное) определение

Дефидент используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла (см.: «натуральное число»).

Остенсивное "определение

Определение предмета путём указания на него, или демонстрации самого предмета.Однако стоит заметить, что остенсивные "определения" определениями вовсе и не являются, поскольку совершаются на дологическом уровне.

25. Как логическая операция определение понятия состоит из двух элементов: определяемого понятия, называемого дефиниендум и записываемого dfd, и определяющих понятий, называемых дефиниенс и записываемых dfn.

26. Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами. “Ледоколы существуют”. Суждения бывают истинные и ложные (в традиционной логике) и еще неопределенными (в 3-х значной логике). “На марсе есть жизнь” - неопределенное суждение. Сужденеи имеет субъект, предикат, связку и квантор.Субъект (S) - понятие о предмете суждения. Предикат (P) -понятие о признаке предмета, рассматриваемого в суждении.Связка - может быть выражена одним словом (есть, суть, является), группой слов или тире, или простым согласованием слов “собака лает”. Квантор - перед субъектом иногда стоит кванторное слово (все, ни один, некоторые) оно указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия или к его части.Эти простые суждения наз-ся ассерторическими.

Суждения делятся на простые и сложные. Простые суждения делятся на Атрибутивные (суждения свойства) “у розы приятный запах”, суждения с отношениями “протон тяжелее электрона”, и суждения существования “Существует атомный реактор в Чернобыле”. По качеству связки (есть, не есть) суждения делятся на утвердительные и отрицательные. Также делятся на общие “Все соболя - ценные пушные звери”, частные “Некоторые цветы - розы” и единичные “Везувий - действующий вулкан”.

Суждение и предложение - суждения выражаютсяповествовательными предложениями, которые несут какую-либо информацию. Вопросительные предложения не содержат суждения (т.к. ничего не утверждают и ничего не отрицают).Побудительные суждения выражают побуждение к совершению действия. Некоторые побуд. Предложения не содержат суждения “Подожди меня”, но предложения-приказы, призывы или лозунги “В атаку, ни шагу назад” выражают модальные суждения. Односоставные безличные предложения “Осень” и некоторые повествовательные “Он - вратарь” являются суждениями только при рассмотрении их в контексте и при уточнении. Если уточнение не сделано, непонятно истинное сужджение или ложное.

27. Структура простого суждения:

1) субъект суждения (S) – логическое подлежащее, предмет мысли.

2) предикат суждения (Р) – логическое сказуемое, признак предмета мысли.

3) связка между S и P- утвердительная (есть) или отрицательная (не есть)

Виды суждений:

А) Атрибутивные- суждения, отражающие связи предметов и их признаков. (Гагарин- первый в мире космонавт)

Б) Суждения с отношением (равенства, родства, временные) – отражают отношения между предметами(Зима холоднее осени)

В) Суждения существования (экзистенциальные) – суждения, в которых утверждается или отрицается сам факт существования объекта (Материя существует)

Атрибутивные суждения (категорические) подразделяются по количественному признаку на единичные, частные и общие. По качественному – на утвердительные и отрицательные.

Для определения качества суждения необходимо восстановить связку суждения. Если связка без частицы «не», то суждение- утвердительное, в противном случае- отрицательное.

28. Сложные суждения образуются из простых путем их соединения. Сложные суждения могут быть истинными или ложными, истинность или ложность которых зависит прежде всего от истинности или ложности составляющих его простых и иных суждений. В сложных суждениях, в отличие от простых, одновременно раскрывается не одна, а несколько связей между предметами мысли. Основными структурообразующими элементами выступают самостоятельные суждения. Не всякое сложное суждение выражается сложным предложением, но всякое сложное предложение выражает сложное суждение. Выделяют следующие виды сложных суждений: 1)соединительные (конъюнкция); 2) разделительные (дизъюнкция); 3) условные (импликация); 4) эквивалентные. Конъюнкция – образуется из нескольких простых, связанных логической связкой «и». Например, «Никто не забыт и ничто не забыто» – А В. (Где А – Никто не забыт; В – ничто не забыто. А и В – члены конъюнкции). Для конъюнкции свойственна взаимозаменяемость положения членов конъюнкции: А В, или В А.

Дизъюнкция состоит из нескольких простых, связанных логической связкой «или»: А V В. Выделяют две разновидности разделительного суждения: 1) нестрогую (слабую) дизъюнкцию; 2) строгую (сильную) дизъюнкцию. Слабая дизъюнкция – объединяемые ею суждения не исключают друг друга, т. е. вместо «или» можно поставить «и» (символ V). Слабая дизъюнкция истинна в тех случаях, когда истинно одно из суждений (или оба), и ложна, когда оба суждения ложны. Сильная дизъюнкция – образуется логической связкой «либо», и ее составляющие исключают друг друга. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно из суждений истинно, а другое – ложно. Импликация – суждения объединяются на основе логической связки «если... то», например: «Если будет хорошая погода, то соревнования состоятся». Эквивалентные суждения – это суждения с взаимной условной зависимостью, выражаемые логической связкой «если и только если..., то...». Например, если и только если человек достиг пенсионного возраста, то он имеет право на получение пенсии по возрасту. Между сложными суждениями существуют определенные отношения, они могут быть совместимыми и несовместимыми. Совместимые суждения – это суждения, которые могут быть одновременно истинными. Выделяют три вида совместимости сложных суждений: 1) эквивалентность; 2) частичная совместимость; 3) подчинение. Эквивалентными являются суждения, являющиеся истинными или ложными одновременно. Частично совместимыми являются суждения, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. К подчиненным относятся такие суждения, в которых при истинности подчиняющего подчиненное всегда истинно. Суждения, которые одновременно не могут быть истинными, являются несовместимыми. Выделяют два вида несовместимости: 1) противоположность; 2) противоречие. Противоположность – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными. Противоречащими являются суждения, которые не могут быть одновременно истинными и ложными

29. Деление атрибутивных суждений по качеству.

В атрибутивном суждении наличие признака у субъекта может утверждаться, а может отрицаться.

Утвердительным называется суждение, говорящее о принадлежности предмета субъекту суждения.

Отрицательным называется суждение, говорящее об отсутствии у субъекта данного предмета.

Здесь требуется уточнить количество суждения.

Количество суждения – характеристика суждения, определяющая в каком объёме рассматривается субъект суждения.Не зная количества суждения, нельзя ни опровергнуть исходное суждение, ни доказывать его, ибо в зависимости от количества суждения изменяются способы его доказательства и опровержения.

30. Термин распределенный, если то, что о нем высказывается в суждении, относится ко всему классу предметов. Если же термин мыслится в суждении в части своего объема, то он является нераспределенным. Анализ распределенности терминов, входящих в суждение, имеет значение для установления правил возможных преобразований формы суждений, а также (в особенности) для установления правил выводов, которые могут быть получены из суждений. Но способ распределенности понятий в суждениях имеет значение не только при преобразовании формы суждения. Способ распределенности понятий в суждении имеет значение также и во всех случаях, когда мы делаем выводы. Логика изучает все возможные случаи распределенности субъекта и предиката в суждениях, зависящие от различий между суждениями по качеству и по количеству. В общеутвердительных суждениях о принадлежности предмета классу предметов субъект распределен, предикат не распределен. В частноутвердительных суждениях о принадлежности предмета классу предметов субъект всегда не распределен, предикат же не распределен в суждениях, где субъект и предикат – понятия перекрещивающиеся, и распределен также в суждениях, где предикат подчинен субъекту. В общеотрицательных суждениях и субъект, и предикат суждения распределены. В частноотрицательных суждениях субъект не

распределен, а предикат распределен в обоих случаях. Рассмотрев распределенность субъекта и предиката в суждениях всех видов качества и количества, можно сделать следующие выводы: 1) субъект распределен в общих суждениях и не распределен в частных; 2) предикат распределен во всех отрицательных суждениях и в тех частноутвердительных, в которых предикат подчинен субъекту. Предикат не распределен в общеутвердительных и в тех частноутвердитель-ных суждениях, в которых субъект и предикат – понятия перекрещивающиеся.

31. ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ - диаграмма в силлогистике, выполняющая роль мнемо-нического правила для запоминания отношений между простыми категорическими атрибутивными высказываниями, к числу которых относятся общеутвердительные — «Всякий S есть Р» (высказывание типа а), общеотрицательные — «Всякий (Ни один) S не есть Р» (типа е), частноутвердительные — «Некоторый S есть Р» (типа i) и частноотрицательные — «Некоторый S не есть Р» (типа о).

Из рисунка видно, что высказывания типа а и е находятся в отношении контрарности. Это означает, что данные высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Таковыми являются, например, высказывания «Всякий человек разумен» и «Ни один человек не разумен». Высказывания типа i и о находятся в отношении субконтрарности, т.е. они не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Таковыми будут высказывания «Некоторые люди спортсмены» и «Некоторые люди не спортсмены». По диагоналям между высказываниями а и о, а также е и i существует отношения противоречия (контрадикторности). Это означает, что данные высказывания не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. В этом отношении находятся, например, высказывания «Все рыбы дышат жабрами» и «Некоторые рыбы не дышат жабрами». Наконец, между высказываниями а и i, и соответственно е и о, имеет место отношение подчинения (логического следования). Это такое отношение, когда при истинности подчиняющих высказываний а и е с необходимостью оказываются истинными и подчиненные высказывания i и о. Например, т.к. высказывание «Все металлы — проводники» истинно, то обязательно должно быть истинным и высказывание «Некоторые металлы - проводники».

32. Логический квадрат показывает отношения между суждениями с одинаковыми субъектами и предикатами, но разными связками и кванторами. С его помощью можно делать выводы относительно истинности и ложности таких суждений.

Однако выводы еще проще делать с помощью предложенного стульчика.

Инструкция прилагается:

1. У нас 3 «дороги»: AE (EA), AO (OA) и EI (IE).

2. Отношения противоречия - AO (OA) и EI (IE) устроены одинаково

Если суждение с одной стороны истинно, то с другой – ложно и наоборот.

(Это так называемый закон исключенного третьего - истинно или само высказывание, или его отрицание, а третьего не дано).

3. Отношения противоположности - AE (EA). Если с одной стороны суждение истинно, то с другой – ложно. Но если с одной стороны суждение ложно, то другое может быть как ложным, так и истинным – однозначный вывод мы сделать не можем.

Например: Если ложно, что все бананы являются спелыми, то ложным может быть и утверждение, что все бананы не являются спелыми.

Истинным может быть – некоторые бананы являются спелыми.

Вектор - это величина которую можно задавать с помощью числа и некоторого направления.

Длина вектора равна

Опр1: Векторы a и b называются равными если совпадают их длины и направления.

Векторы a и b называэтся противоположно направленными если их длины равны, а направления противоположны. А если у них разные длины, то сонаправлены, и противоположны.

Векторы начала которых можно поместить в любые точки пространства называются свободными.

Опр2: Если начало и конец вектора совпадают, такой вектор называется нулевым.

Опр3: Два не нулевых вектора a и b лежащих на одной прямой или параллельных прямых, коллинеарны.

Опр4: Вектор, чья длина вектора a=1, назвается единичным вектором или ортой.

Дата добавления: 2015-03-29