Відсутність залежності:

У цьому випадку прийнято говорити про тісноту статистичної залежності. На лівому малюнку представлена тісна статистична залежність, на правом слабка.

Статистична залежність: при одному і тому значенні фактора Х фактор У може приймати різні значення.

На кореляційному полі в цьому випадку ми побачимо, що дані спостережень розмиті, маємо більш-менш значний розкид даних.

Коли залежність між факторами є, але вона розмита, статистична, можна говорити про те, що при зміні фактора Х змінюється середнє значення фактора У.

Визначення:

Кореляційною залежністю Y від Х називають функціональну залежність середнього значення Y (тобто ) від Х:

Рівняння називають рівнянням регресії Y на Х;

функцію j(x) називають функцією регресії Y на Х;

її графік -- лінією регресії Y на Х.

У задачах економетрії при побудові моделі вирішуються дві проблеми:

1. Складання рівнянь для опису взаємозв'язку і динаміки економічних явищ

(при цьому використовуються знання з теоретичної економіки, практичний економічний досвід і знання математики).

2. Визначення параметрів, включених у ці моделі

(використовуються знання з математики, теорії ймовірностей і математичної статистики).

Лінійна регресія

Припустимо, що залежність середнього значення фактора У від зміни фактора Х можна описати лінійною функцією

Т. т., лінія регресії – пряма лінія.

У рівняння прямої (y = a x + b) входять два параметри: a і b.

Щоб знайти коефіцієнти регресії a і b застосуємо метод найменших квадратів (МНК).

У загальному випадку задача ставиться в такий спосіб.

Обрано формулу для рівняння регресії

y = f (x, a, b, c)

Підібрати параметри регресії таким чином, щоб відхилення даних спостережень від лінії регресії були б мінімальними.

Для рішення цієї задачі є кілька методів. Самий популярний і найбільш поширений –

МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Щоб вимірити ступінь відхилення кривої від експериментальних точок (або навпаки, експериментальних точок від кривої, що ми будуємо) уведемо наступне визначення:

Відхиленням (або залишком) назвемо різницю між теоретичним значенням , підрахованим по передбачуваній формулі й експериментальному значенні :

Тут - це дані спостережень, відомі числа. Покажемо ці відхилення на графіку:

Усі вони повинні бути найменші. Цього можна домогтися, якщо взяти суму квадратів цих чисел і зажадати, щоб вона була мінімальна:

Σ Δ²_i → min.

Т. т., ця сума квадратів є функцією від коефіцієнтів регресії, і потрібно знайти мінімум функції декількох змінних. З курсу вищої математики відомо, що для цього потрібно взяти частки похідні і прирівняти їх нулеві:

Одержимо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів регресії. Скільки коефіцієнтів присутні у рівнянні регресії, стільки буде і рівнянь у цій системі.

Ця система називається НОРМАЛЬНОЮ СИСТЕМОЮ.

Якщо ми її вирішимо, то коефіцієнти регресії будуть знайдені.

В даному випадку треба знайти два параметра регресії a і b.

Нормальна система для визначення коефіцієнтів:

Обчислимо похідні і виконаємо перетворення отриманих рівнянь:

Розділимо два рівності на n:

Дата добавления: 2015-05-08