Системи ітерованих функцій

Фрактали як дискретна модель. Самоподібність

Фрактал – це самоподібна геометрична структура. Це фігура, малі частинки якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої (В широкому сенсі під фракталами розуміють множину точок в евклідовому просторі).

Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами.

Фрактал володіє нетривіальною структурою. В цьому відмінність від регулярних фігур: якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної в дуже великому масштабі, він буде схожим нафрагмент прямої. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури – ми завжди будем бачити однаково складну картину.

Фрактал є самоподібним або наближено самоподібним, має дробову розмірність і може бути побудований за допомогою рекурсивної функції.

Приклади – крива Коха, сніжинка Коха, трикутник Серпинського, Канторів пил.

Фрактали використовуються природнім чином при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний потік рідини, полум'я, хмари тощо. Також вони використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад в нафтохімії. В біології за їх допомогою моделюють популяції і описують системи внутрішніх органів (напр., системи кровоносних судин).

Ітерація – це повторне застосування математичної операції (зі зміненими даними) при розв'язуванні обчислювальних задач, яка дає можливість поступово наблизитися до правильного результату.

Ітерації застосовуються для розв'язування задач типу x = Ax, де х – елемент певної множини, а А – оператор, що відображає множину саму в себе (повертає елемент тої самої множини). Ітераційна процедура починається з довільно обраного х₀, потім визначають х₁ = Ах₀. Діючи послідовно, отримаємо x_n = Ax_n–1 = Aⁿx₀.

При виконанні певних умов така процедура збігається до певного елемента множини, який є розв'язком задачі. Однак, ітераційний процес не завжди збіжний.

Незбіжні ітераційні процеси використовують для побудови та вивчення фракталів. Наприклад, множина Мандельброта утворюється при ітеруванні: z_n+1 = z_n² + c, де z₀ = 0 та c – комплексні числа.

Дата добавления: 2015-05-08