Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Розмірність фрактальних множин




Існує простий прилад для вимірювання площі на плані чи карті. Це прозора пластинка, на яку нанесена квадратна сітка з заданим кроком, напр. 1 см. Наклавши пластинку на карту, можна підрахувати к–сть квадратиків, що попали всередину області і отримати оцінку площі знизу, або порахувати к–сть квадратиків, які повністю покривають область і отримати оцінку площі зверху. Чим менший розмір квадратиків сітки, тим точнішою буде оцінка.

Як залежатиме к–сть комірок сітки, які покривають область від розміру комірки ε? Зрозуміло, що при зменшені ε, їх к–сть буде зростати, оскільки N(ε)≈1/ε2. Якщо ж ми розглянемо покриття не області, а відрізка лінії, то отримаємо N(ε)≈1/ε.

Обидва співвідношення мають вигляд N(ε)≈1/ εD, при чому показник D потрібно інтерпретувати як розмірність розглянутих множин: для області D = 2, а для відрізка D = 1. Розмірність виступає як число, що характеризує швидкість росту к–сті комірок покриття даної множини при зменшенні розміру комірки. Прологарифмувавши співвідношення N(ε)≈1/εD і спрямувавши ε до нуля, отримаємо

D = –limε→0(logN(ε)/log ε), де основа – довільна.

Якщо використати аналогічний підхід до таких об'єктів як Канторова множина чи килим Серпинського, то величина Dвиявиться дробовою. Це стало основою для терміну "фрактал" і для того, щоб назвати величину Dфрактальною розмірністю (від слова fraction – дріб).

25.Криві Пеано

Крива Пеано – плоска крива, яка володіє неймовірною властивістю "заповнення простору". Така крива заповнює одиничний квадрат і проходить через кожну його точку (х, у) щонайменше один раз..

Суть кривої Пеано полягає в поділі кожної сторони одиничного квадрату на три рівні частини, які ділять квадрат на 9 менших квадратиків. Крива проходить ці 9 квадратів у відповідному порядку. Потім кожний з цих 9 квадратиків аналогічно ділять на 9 частинок, і крива модифікується таким чином, щоб обійти всі частини в відповідному порядку. Давайте розглянемо детальніше принцип побудови цієї кривої.

Введемо деякі позначення, зручні для вивчення властивостей кривої Пеано. Нехай І – одичний відрізок [0, 1], S – одиничний квадрат І х І, тобто S = {(x, y): x, y І}. При побудові, використовується представлення точок відрізка І в системі числення за основою 9. Перший крок полягає в тому, щоб розбити S на 9 рівних частин. Неперервна крива, яка проходить через всі квадрати, будується так, як показано на малюнку, суцільною лінією зі стрілками. Пунктирна лінія вказує, в якому порядку необхідно обходити квадрати. Квадрати пронумеровані числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8, відповідно до порядку, в якому їх перетинає лінія. Отримана лінія представляє собою першу ітерацію побудови.

Далі, кожен з цих 9 квадратиків розбивається на 9 рівних підквадратиків, які нумеруються аналогічно, як це було зроблено на першій ітерації. Отримуємо лінію, яка проходить через ці підквадратики таким чином, що її початкова і кінцева точки кладуться на криву попереднього рівня. Це допомагає занумерувати підквадратики числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 всередині кожного квадрату. Повторимо цей процес бескінечно, кожний раз розбиваючи квадрати на підквадрати, будуючи криву через них так, щоб її кінці клались на лінію попереднього рівня, і нумеруємо їх. На малюнку показано, як виглядає квадрат з номером 4 після двох ітерацій. Фактично крива Пеано, яка переводить І в S, визначається відображенням, яке зіставляє точці х Є І, точку Р(х) Є S за наступним правилом:

Р(х) – в квадраті під номером х1 після першої ітерації;

Р(х) – в квадраті під номером х1х2 після другої ітерації;

Р(х) – в квадраті під номером х1х2х3 після третьої ітерації і т.д.

Теорема. Відображення Пеано є неперервною функцією, яка переводить інтервал І в квадрат S. Більше того, послідовність відображень Р1(х), Р2(х), Р3(х),... збігається: limPn(x) = P(x), x Є І.

Відображеня Пеано не встановлює взаємнооднозначної відповідності між точками множини І та S. Це фактично неможливо зробити за допомогою неперервної функції. Одній точці вздовж загального ребра двох квадратів відповідають дві точки відрізка. Більше того, одній точці на чотирьох квадратів відповідає цілих чотири точки відрізка.

Отже, як ми бачимо Пеано намалював особливий вигляд. Її унікальність в тому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що для кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано виходить за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вона не має чіткої розмірності. Крива будується на підставі одновимірної лінії, а в результаті виходить площина.

Тут зображено 6 ітерацій кривої Пеано.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-08; Просмотров: 898; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.