Пороговий характер якісних змін у природі

Дивні нехаотичні та хаотичні недивні атрактори. Відображення Арнольда

Фрактальна природа дивних атракторів

Дивний атрактор – математичний образ детермінованих неперіодичних процесів, для яких неможливий довгостроковий прогноз. Дивні атрактори в свою чергу поділяються на три групи: гіперболічні, атрактори типу Лоренца і квазіатрактори.

В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої (Канторова множина, наприклад)

Беремо переріз атрактора, і збільшуємо це зображення в кілька разів, і при будь–якому збільшенні ми бачимо, що цей атрактор має таку ж структуру, зокрема структуру канторової множини.

Розглянемо рух кульки, яка вільно котиться деяким рельєфом. У момент скочування схилом прикладання до неї невеликого додаткового горизонтального зусилля, звісно, заставить її дещо змінити свою траєкторію. Проте, в цілому, подальша еволюція кульки у значній мірі залежатиме від швидкості і напрямку її руху до початку дії сили. Зовсім іншою є ситуація, коли кулька викотилась на верхівку горба (у точку нестійкості) і зупинилась. Тепер досить найменшого зусилля для виведення її з положення нестійкої рівноваги і, що є принципово важливим моментом, подальше розгортання подій ніяк не пов’язане з попередньою історією руху кульки! Таким чином, вся її еволюція складається з незалежних між собою добре визначених періодів (ми їх вище назвали русловими), котрі розділені нестійкими (стоковими) періодами. Звісно, що ймовірность точного попадання на верхівку горба і повну саме там зупинку – нульова, зауважимо, що, все ж, чим точніше ця ситуація на практиці буде реалізована, тим меншого зусилля буде достатньо для скерування траєкторії руху кульки у той, чи інший бік.

Наведений приклад демонструє надзвичайну чутливість систем до найменших змін їх внутрішніх чи зовнішніх параметрів саме у точках нестійкості, а також властивість “забувати” історію своєї попередньої еволюції після їх проходження. У цих точках система наче “зупиняється на порозі” можливих майбутніх траєкторій розвитку в очікуванні найменших збуджуючих зовнішніх факторів для вибору своєї подальшої поведінки. Стають зрозумілими проблеми класичних математичних моделей у вигляді початково–крайових задач. Кожна така модель діє лише протягом одного руслового періоду, і після проходження точки нестійкості слід задатися або новими початковими умовами, або й, можливо, змінити саму модель.

Історично першими дослідження умов стійкості стосувались створених людиною механічних систем (мостів, будинків, літаків, і т.п.) з метою запобігання їх руйнуванню. Конструкції проектувались з умов стійкості відносно збурення початкових даних та прикладених навантажень. Поступово це поняття почали застосовувати і в інших сферах людської діяльності, таких як економіка, соціологія, екологія, тощо. Виявилось, що втрачати стійкість системи можуть також при зміні своїх внутрішніх параметрів (економічні показники, ступінь забрудненості і т.п.). Це сприяло значному розвитку досліджень у теорії стійкості, а також появі нових пов’язаних з нею напрямків, таких як теорія біфуркацій.

Легкість якісної зміни поведінки системи у точках нестійкості вказує на природний шлях керування нею за рахунок правильного підбору низки слабких керуючих впливів саме у цих точках. Практика ж несвоєчасного грубого втручання в екологічні, соціальні та інші важливі для людства системи у кращому випадку не давала потрібних результатів, а часто мала й катастрофічні наслідки.

Дата добавления: 2015-05-08