Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Біфуркації. Біфуркаційні діаграми




Біфуркація – катастрофічний стрибок, конфліктний зрив, вузол взаємодії між випадком і зовнішнім обмеженням, між коливаннями і необоротністю.

Термін походить від лат. bifurcus – роздвоєний і вживається в широкому сенсі для позначення всіляких якісних перебудов або метаморфоз різних об'єктів при зміні параметрів, від яких вони залежать.

Якщо система, що еволюціонує, залежить від параметра, то при його зміні поведінка системи, в загальному випадку, може змінюватися плавно. Однак при переході параметра через деяке критичне значення динаміка системи може потерпіти якісну перебудову. Значення параметрів, при яких відбувається перебудова сталих режимів руху в системі, називаються біфуркаційними значеннями параметра (або точками біфуркації), а сама перебудова – біфуркацією.

Точки біфуркації – особливі моменти в розвитку живих і неживих систем, коли стійкий розвиток, здатність гасити випадкові відхилення від основного напрямку змінюються нестійкістю. Стійкими стають дві або кілька (замість одного) нових станів. Вибір між ними визначається випадком, в явищах суспільного життя – вольовим рішенням. Після здійснення вибору механізми саморегулювання підтримують систему в одному стані (на одній траєкторії), перехід на іншу траєкторію стає складним. Наприклад, еволюція живих організмів і виникнення нових видів повністю підходить під цю схему. У міру зміни умов вигляд, раніше добре пристосований, втрачає стійкість і у результаті біфуркації дає два нових види, що відрізняються від колишнього і в ще більшому ступені – один від одного.

Біфуркаційні діаграми. Графічне представлення біфуркацій фазового портрету динамічної системи на фазовій площині (у фазовому просторі) називають біфуркаційною діаграмою. Вона дає просте і наглядне уявлення про можливі шляхи еволюції системи, через що часто використовується для аналізу та прогнозування її поведінки.

Один з кращих демонстраційних прикладів побудови такої діаграми ми знайшли у [Томпсон], який приводимо із скороченнями.

Розглянемо рівняння руху лінійного осцилятора із затуханням:

mẍ + rẋ + sx = 0, або ж віднесемо до маси: ẍ + bẋ + cx = 0.

Шукаючи розв'язок у викляді x = eλt, отримаємо характеристичне рівняння λ2 + bλ + c = 0, корені якого дійсні або комплексні у залежності від знаку дискримінанта D = b2 – 4c. У випадку D> 0, тобто за дійсних значень λ, розв’язок веде себе очікувано експоненціально і є стійким при λ > 0 і нестійким, коли хоча б один з λ < 0. Від’ємне ж значення дискримінанта означає наявність пари комплексно спряжених коренів λ1,2=R ± Ii, через що маємо: x=eRtsinIt, тобто стійкість системи знову таки залежить від знаку дійсних частин λ1,2.

Біфуркації поведінки лінійного осцлилятора у залежності від його параметрів жорсткості с та в’язкості b зображено на рис 4. У випадку, коли жорсткість домінує над затуханням (D< 0), маємо комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, що у фазовому просторі (x, ẋ) означає стійкий фокус. Переважання в’язкості подавлює коливні процеси у системі і траєкторії її еволюції сходяться у стійкий вузол. Від’ємні жорсткість чи затухання, що виглядають нереальними для нашого прикладу з пружиною та в’язким демпфером, насправді ж є цілком досягненними в інших системах, наприклад при статичних (проклацування) або динамічних (вітровий флаттер) навантаженнях на пружні конструкції. Фазова поведінка останніх стає нестійкою.

Зауважимо, що перехід через лінію D = 0 хоч і призводить до зміни типу атрактора з вузла на фокус (і навпаки), але не є біфуркаційним, оскільки не супроводжується зміною стійкості. Таку поведінку система демонструє лише при переході осей першої чверті системи координат (b, c).

v
x
центр
v
(затухання) b
С (жорсткість)
D = 0
D = 0
x
x
v
стійкий фокус
x
v
нестійкий фокус
Стійкий вузол
x
v
v
x
Нестійкий вузол
x
v
Сідло
x
v

Рис 4. Біфуркаційна діаграма лінійного осцилятора




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-08; Просмотров: 1997; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.