Біфуркації у дискретних моделях. Універсальність Фейгенбаума

Логістичне відображення – точкове відображення, в якому в залежності від параметра проявляється широке коло синергетичних ефектів, таких як атрактори, граничні цикли, подвоєння періоду, детермінований хаос.

Розмову про ланцюг біфуркацій подвоєння періоду продовжимо дослідженням уже згадуваного вище логістичного відображення

Прості обчислення, наприклад для λ = 2, показують, що незалежно від початкового наближення при n→∞ відображення сходиться до єдиного значення (точкового атрактора) х_∞ = 0.5 (рис).

Біфуркації подвоєння періоду у логістичному відображенні

Проте для λ = 3.2 система з часом виходить на режим осциляції між двома значеннями х_∞ = 0.513 та х_∞+1 =0.799, тобто утворює граничний цикл з періодом 2. В околі значення параметра λ = 3.45 цикл знову ускладнюється до осциляції між чотирма значеннями, тобто його період подвоюється. При цьому добре помітна тенденція зменшення інтервалу між наступними біфуркаціями, що приводить до швидкого виходу на хаотичний режим роботи.

Продемонстрований сценарій хаотизації поведінки системи шляхом низки біфуркацій подвоєння періоду її коливань через значну поширеність у реальних природних процесах став об’єктом особливої уваги дослідників.

Дата добавления: 2015-05-08