Вихід на хаотичні режими. Сценарій подвоєння періоду

Універсальність Фейгенбаума. Повертаємось до обговорення ланцюжка біфуркацій подвоєння періоду, який складає один з найпоширеніших у природі сценаріїв виходу системи на хаотичний режим роботи. Зокрема з ним пов’язане таке відоме і практично важливе явище як турбулентність.

Фізичні експерименти свідчать, що перехід потоку рідини до турбулентного режиму відбувається на скінченому інтервалі значень параметра Рейнольдса. Отож, для досягнення безмежної складності хаотичного руху у цьому інтервалі має міститися й безмежна кількість біфуркацій і, тому, відстань між ними мусить прямувати до нуля.

Першими експериментальне підтвердження цієї тези для широкого класу відображень дали Метрополіс, М.Стайн і П.Стайн у 1971 р. У цей клас входять функції, ітерації яких з часом виходять на граничний цикл. Було показано, що за певного значення параметра функції граничний цикл втрачає рівновагу і змінюється циклом з подвоєним періодом. З подальшим збільшенням параметра період зростає до безмежності і поведінка функції хаотизується.

Той факт, що описаний сценарій не залежить від конкретного вигляду ітераційної функції привернув увагу Мітчела Фейгенбаума. Експериментуючи з простим логістичним відображенням , він помітив, що інтервал між значеннями параметра, за яких відбувається біфуркація подвоєння періоду зменшується у геометричній прогресії, тобто

Із зростанням n швидко збігається до сталої величини δ. Та найбільшою несподіванкою став той факт, що ця величина δ=4.6692016… є універсальною для будь–яких систем, еволюція котрих визначається біфуркаціями подвоєння періоду! Таким чином це число характеризує єдину швидкість прямування до хаосу і у фізичних осциляторах, і в біологічних популяціях, і у рідинах, і ще у багатьох практично важливих для людини системах.

Вихід на хаотичні режими. Під сценарієм переходу до хаосу розуміють послідовність біфуркацій при зміні деякого керуючого параметра µ, що призводить до встановлення в системі хаотичного руху.

Нехай при I₀(V) на фазовому портреті існує стійка стаціонарна точка (стійкий фокус або вузол). Спільним першим кроком усіх сценаріїв переходу до хаосу є те, що при зростанні µ відбувається біфуркація Андронова–Хопфа – система втрачає рівновагу, відбувається її самозбудження. Подальші біфуркації визначаються конкретним сценарієм.

Слід вказати, що в реальних системах звичайно існує декілька керуючих параметрів, тому до того самого стану хаотичного руху можна прийти різними шляхами. Отже, поняття сценарію переходу до хаосу має до певної міри умовний характер. Тим не менше воно досить поширене в літературі.

На сьогоднішній день, як можна думати, відомі ще не всі можливі сценарії переходу до хаосу.

Сценарій подвоєння періоду (Сценарій Фейгенбаума). У цьому сценарії після біфуркації Андронова–Хопфа при деякому значенні керуючого параметра µ₁ відбувається подвоєння періоду коливань (рис.), при більшому значенні µ₂ – наступне подвоєння періоду, і так далі. Послідовність µ_n збігається до деякого значення µ_∞, при переході через яке період коливань формально стає нескінченно великим, а рух системи – відповідно хаотичним.

Рис.: Послідовне подвоєння періодів у фазовому просторі.

Явище універсальність Фейгенбаума полягає в тому, що незалежно від конкретного типу динамічної системи, для якої відбувається перехід до хаосу за даним сценарієм, швидкість збігання послідовності µ_n виявляється тією самою:

lim_x→∞((µ_n – µ_n–1) / (µ_n+1 – µ_n)) = δ, де δ = 4,6692... – константа Фейгенбаума.

Приклад переходу до хаосу за сценарієм Фейгенбаума демонструє, зокрема, так звана система Реслера – модель деякої хімічної реакції коливного типу. Спектр цієї реакції для різних значень керуючого параметра подано на рис.. Видно, що при зростанні вказаного параметра віддаль між сусідніми гармоніками в спектрі послідовно зменшується вдвічі.

а б

в г

Рис.: Спектр системи Реслера при послідовному зростанні керуючого параметра.

Дата добавления: 2015-05-08