Ошибки 1-го, 2-го родов

Статистическая гипотеза. Статистический критерий.

Задачи статистической проверки гипотез.

Проверка статистических гипотез.

Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины).

Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать вывод о том, что оно более эффективно, чем применявшиеся ранее методы лечения? Аналогичный вопрос можно задать, говоря о новом правиле поступления в вуз, о новом методе обучения, о преимуществах новой модели автомобиля или технологического процесса.

Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: Относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза Н. Из генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной.

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статистическими гипотеза может быть о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Проверяемая гипотеза называется нулевой (основной) и обозначается Н₀; Конкурирующая (или альтернативная) гипотеза - это гипотеза, противоречащая нулевой, являющаяся логическим отрицанием Н₀, она обозначается Н₁. Имея две гипотезы Н₀ и Н₁ надо на основе выборки х₁,х₂, …,х_n принять либо основную гипотезу Н₀, либо конкурирующую Н₁.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀ называется статистическим критерием проверки гипотезы Н₀

Основной принцип проверки гипотезы: Решение - принять или отвергнуть гипотезу Н₀ - принимается на основании некоторого правила или критерия, по выборочным данным. При этом выбирается подходящая функция элементов выборки х₁,х₂, …,х_n, или статистика критерия, которую в общем случае будем обозначать К.

Если распределение этой статистики известно (а это обычно нормальное распределение - N(0,1)), или χ², или распределение Стьюдента или Фишера), то для обозначения будет использоваться та же буква, что и для обозначения соответствующей квантили. Множество значений статистики К, при которых принимается решение отклонить гипотезу Н₀, называется критической областью. Графически эта область определяется по кривой распределения.. Множество значений статистики К, при которых гипотеза принимается, называется областью принятия решения.

При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза Н₀, когда на самом деле она верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза Н₁, когда на самом деле она верна.

Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через α) называется уровнем значимости критерия. Чем меньше α, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Например, α=0.05 означает, что в 5 случаях из 100 мы рискуем отвергнуть правильную гипотезу Н₀.Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее (стандартные значения: 0,01; 0,025; 0,05; 0,95; 0,975; 0,99)

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается β. Величина (1- β) называется мощностью критерия. Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно.

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать α, в другом – β.

Например, применительно к радиолокации: α- вероятность пропуска сигнала, β – вероятность ложной тревоги; применительно к производству: α – риск поставщика (забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), β – риск потребителя (прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе: ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода – осуждении невиновного.

Дата добавления: 2015-05-08