Метод Ньютона або метод дотичних

Метод дотичних

Нехай рівняння f(x)=0 на відрізку [a,b] має ізольований корінь х *, причому на цьому ж відрізку функція у=f(x) має неперервні похідні f ’ (x) і f ’’ (x), які зберігають знак.

Розкладемо функцію f(x) в ряд Тейлора в околі довільної точки x₀ відрізку [a,b].

f(x) = f(x₀) + f’(x₀) (x – x₀) + 0.5 f’’(x₀) (x – x₀)² + …

В рівності відкинемо нелінійні члени (відкидання старших членів розкладу перетворює останнє рівняння в рівняння дотичної до кривої в точці х₀, чим і пояснюється друга назва цього методу – метод дотичних). Тоді

f(x₀)+f’(x₀) (x – x₀)= 0, звідки .

При обчисленні правої частини рівняння одержимо наближення x₁, потім – наближення x ₂ тощо(рис.3.2).. В результаті отримаємо ітераційну послідовність

.

Рис.3.2.

Теорема (достатні умови збіжності за методом Ньютона). Нехай на відрізку [a,b] функція у=f(x) має неперервні похідні сталого знаку до другого порядку включно і на кінцях відрізка приймає значення різних знаків. Тоді існує окіл точки х *, в якому для будь-якого початкового наближення х ₀ ітераційна послідовність збігається до кореня х *.

Дата добавления: 2015-05-23