Варіант №5

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА

з дисципліни: «Математичні методи оптимізації»

Виконав:

студент гр. МЕФ-504 Шнит О. Я.

Перевірив:

професор Асланян А. Е.

Київ 2012

ЗАВДАННЯ №1

Оптимізація унімодельної функції однієї змінної без обмежень методом випадкового пошуку і одним із детермінованих методів (дихотомії, «золотого перерізу», Фібоначчі).

Проводимо оптимізацію за допомогою методу випадкового пошуку.

Задана цільова функція – Y(u)=3 + x·u – y·u² + z·u³ – 2·u⁴,

де x = 1, y = 0, z = 4.

Розв’язання:

Проводимо оптимізацію за допомогою методу «золотого перерізу».

ВИСНОВОК: Метод випадкового пошуку відрізняється від детермінованих методів введенням елементів пошуку. Введення цих елементів випадковості дає можливість побудувати більш простий алгоритм пошуку. Метод «золотого перерізу» – метод пошуку значень дійсно-значної функції на заданому відрізку. В основі методу лежить принцип поділу в пропорціях золотого перетину.

ЗАВДАННЯ №2

Використовуючи метод випуклого програмування вирішити кінцевомірну екстремальну задачу.

Задана цільова функція f (x1, x2, x3) = (x1 – x)² + (x2 – y)² + (x3 – z)⁴,

де x = 1, y = 0, z = 6, початкові значення x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.

Розв’язання:

1. Без обмежень:

2. Задані обмеження: х1+х2-3=0; х2+х3+1=0

3. Задані обмеження: х2+х3≤0; х1+х2-3= 0

Given

ВИСНОВОК: Випукле програмуванняявляє собою сукупність методів вирішення нелінійних екстремальних задач з опуклими функціями – розділ нелінійного програмування (тобто дисципліни, що займається вирішенням таких завдань в яких діють не тільки лінійні, але й інші більш складні залежності). Опуклим цей вид математичного програмування називається тому, що має справу з опуклими цільовими функціями і опуклими системами обмежень. Загальне завдання опуклого програмування полягає в знаходженні такого вектора х, який забезпечує мінімум опуклої або максимум увігнутої функції.

ЗАВДАННЯ №3

ОПТИМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ ОДНОРІДНИХ РЕСУРСІВ.

Умова: нехай є три постачальники однорідного продукту з виробничоздатністю: і чотири замовники із заявками:

Позначимо вартість доставки одиниці продукту з і -го складу j -му замовнику і зобразимо таблицю.

Таблиця коефіцієнтів вартості перевозки

Постачальник Замовник	П1	П2	П3	П4
З1
З2
З3

Позначимо кількість постачаючих одиниць продукту з і -го складу j -му замовнику . Оскільки всі заявки задовольняються, а продукт вибирається без остачі, то обмеження в виді системи із 7 рівностей зображені в таблиці. Загальне число обмежень дорівнює 19.

Постачальник Замовник	П1	П2	П3	П4	Сума
З1
З2
З3
Сума

ВИСНОВОК: Виконуються умови, що всі споживачі забезпечуються; всі перевезення здійснюються із мінімальними затратами; вивозяться всі ресурси всіх постачальників. Визначено величину цільової функції та мінімізовано її: .

ЗАВДАННЯ №4

ОПТИМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ НЕОДНОРІДНИХ РЕСУРСІВ

Нехай для виготовлення одиниці і -го виробу а_і затрачається технологічна норма с_іj j -ї сировини b_j із запасів. Позначимо прибуток від одиниці кожного виробу через p_j. Вихідні дані зображені в таблиці.

Ресурси	Виріб	Запаси ресурсу
В1	В2	В3	В4
Трудові					15 + x
Матеріальні					9 + y
Фінансові					30 + z
Прибуток

Визначити, яку продукцію і в якій кількості необхідно виробляти, щоб отримати оптимальний прибуток.

Розв’язання:

ВИСНОВОК: Провівши розрахунок оптимального розподілу неоднорідних ресурсів визначено, щоб отримати максимальний прибуток необхідно виробляти продукцію В2.

ЗАВДАННЯ №5

ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ ПРИ ЗАДОВОЛЕННІ ПОПИТУ

Умова: нехай тижнева необхідність у виробах складає Q одиниць. Витрата його в часі відбувається рівномірно. Відомі затрати на зберігання одного виробу в одиниці часу (доба) і затрати на доставку одної партії виробів. Необхідно визначити, величину поставляючої партії виробів, при якій сумарні затрати на створення і зберігання запасу були б мінімальними.

Нехай Cx = x – затрати на зберігання одиниці виробу за одиницю часу, а Cd затрати на доставку партії виробів. Загальна необхідність Q = 15N виробів, де N – кількість студентів у групі.

Розглянемо два варіанти: коли затрати Cd = y на доставку виробів не залежать від їх кількості в партії і коли існує лінійна залежність від величини партії S: Cd = y + z·S (з урахуванням, що всі партії мають однакову кількість виробів).

- число постачаючих партій n1 = Q / S;

- якщо позначимо час операції (тиждень) через T, а час витрати партії – t, то кількість постачаючих партій рівна: n2 = T / t = n1;

- витрата виробів на проміжку часу t – рівномірна, тому затрати на зберігання однієї партії складають:

- затрати на доставку однієї партії виробів відповідно: Yd = Cd = y – перший варіант; Yd = Cd = y + z·S – другий варіант;

- сумарні витрати на доставку і зберігання виробів складають: - затрати на доставку не залежать від S;

- - затрати на доставку залежать від S;

Розв’язання:

Оптимальне число виробів в партії S_opt відповідає точкам екстремума і , які однакові для двох варіантів і не залежать від числа виробів в партії: - формула Вільсона. Із співвідношення можна знайти .

1. Вартість перевезень не залежить від об’єму партії:

2. Вартість перевезень залежить від об’єму партії:

ВИСНОВОК: Задача управління запасами виникає, коли необхідно створити запас матеріальних ресурсів або предметів споживання з метою задоволення попиту на певному заданому інтервалі часу. Для забезпечення неперервного і ефективного функціонування практично будь-якої організації необхідне створення запасів. В будь-якій задачі управління запасами потрібно визначати кількість замовленої продукції і строки розміщення замовлень. Попит можна задовольнити шляхом одноразового створення запасу на весь потрібний період часу або шляхом створення запасу для кожної одиниці часу цього періоду.

ЗАВДАННЯ №6

ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ ПРИ НЕЗАДОВОЛЕННІ ПОПИТУ

Затрати при незадоволенні попиту дорівнюють Cu на одиницю ресурсу за одиницю часу. Період постачання t = t1 + t2. На відрізку t1 попит задовольняється, на відрізку t2 запас відсутній, а попит задовольняється із наступних партій. Нехай час операції T і необхідно Q виробів. Витрати на постачання однієї партії не залежить від кількості виробів.

Необхідно визначити величину постачаючої партії і розмір необхідної партії при рівномірній витраті виробів і мінімальних сумарних витратах. Розглянемо перший варіант попередньої задачі, з тими ж даними.

- попит задовольняється на відрізку часу і не задовольняється на проміжку часу ;

- визначаємо кількість інтервалів n2 = Q / S, n1 = T / t;

- затрати на одну партію при зберіганні - ; на доставку Yd=Cd=y; із-за недопоставки ;

- загальні затрати

Прирівнявши похідні і до нуля, отримаємо систему:

,

Розв’язуючи систему рівнянь, рівнянь отримаємо:

, ,

називається щільністю збитку із-за незадоволеного попиту.

4.

ВИСНОВОК: При значних випадкових коливаннях попиту мінімальний рівень запасу відмінний від нуля. У цьому випадку існує резервний запас. Якщо розмір партії продукції, яка замовляється, збільшується в порівнянні з тим, що відповідає випадку виконання замовлень, то вірогідність дефіциту продукції протягом року зменшується. Отже, резервний запас повинен бути таким, щоб забезпечити бажаний рівень обслуговування споживачів. Загальна економія в результаті одноразового визначення рівня резервного запасу і розміру партії продукції для його поповнення здійснюється в тих випадках, коли розмір партії продукції, обчислений за умови відсутності дефіциту, менший, ніж стандартне відхилення помилок прогнозу на інтервалі випередження.

Для даної задачі управління запасами при незадоволенні попиту при рівномірній витраті виробів мінімальні сумарні затрати досягаються, коли величина партії, що поставляється рівна S=5, а розмір потрібної партії V=6.

Дата добавления: 2015-05-23