Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Знайти за допомогою графічного методу розв’язок ЗЛП

Розв’язання. Побудуємо декартову систему координат, де вісь абсцис візьмемо за вісь , а вісь ординат – за вісь Як відомо з елементарної геометрії, лінійна нерівність описує точки півплощини, які лежать по одну сторону від прямої .

Таким чином, нерівності (1) – (3) описують півплощини, а їх сукупність – перетин півплощин.

Для визначення кожної півплощини спочатку будуємо пряму і знаходимо нормальний вектор n . Він вказує на ту півплощину, точки якої задовольняють нерівність з відношенням “ ”. Для нерівності з відношенням “ ” беремо півплощину, протилежну напрямку вектора n.

Побудувавши прямі , , що відповідають нерівностям (1)–(3), взявши відповідні півплощини і врахувавши умову невід’ємності змінних , маємо множину точок, що задовольняють усі обмеження задачі. Многокутник - область допустимих розв’язків або многокутник розв’язків (рис. 2.1).

Будуємо на площині О нормальний вектор функції N , координатами якого є коефіцієнти цільової функції. Він вказує напрямок, у якому функція буде збільшуватися, у протилежному напрямку функція буде зменшуватися.

Рис. 2.1

Оптимального плану досягаємо переміщенням лінії рівних значень , яка перпендикулярна до вектора N , паралельно самій собі у напрямку вектора N , оскільки потребується максимізація цієї функції. Переміщувати пряму можна доти, поки вона ще має спільні точки з областю. Таким чином, досягнемо положення прямої, що проходить через точку С. Визначаємо координати точки С. Для цього розв’язуємо систему, що складається з рівняння (1) і рівняння осі О :

Розв’язавши систему, маємо точку С (14,0).

У цій точці спостерігаємо максимальне значення цільової функції .

Відповідь: Оптимальний розв`язок: , , максимальне значення цільової функції .

Приклад 2. Знайти оптимальний план задачі ЛП симплекс-методом.

.

Розв’язання. Така задача була раніше розв’язана графічним методом (приклад 1). Розв’яжемо тепер цю задачу симплекс-методом. Запишемо задачу в стандартному вигляді (цільова функція прямує до мінімуму, обмеження – нерівності мають знак «») і перенесемо вільні члени нерівностей в ліву частину:

.

Введемо додаткові змінні :

Складемо симплекс-таблицю (табл. 1) і знайдемо спочатку допустимий розв’язок. Для цього виконуємо послідовні перетворення, керуючись правилом 1. Серед відношень –24/4 та –24/6 вибираємо найменше. Додатний елемент, що утворив це відношення, обираємо за ведучий.

Таблиця 1

	–1	–2
		–3
	4		–24
– F	–1	–1

Після перетворень отримуємо табл. 2.

Таблиця 2

	–1	–2
		–42
		–6
– F	–1		–24

Поділимо всі елементи табл. 2 на ведучий елемент та дістанемо табл. 3.

Таблиця 3

	–1/4	–1/2
	5/4	–21/2
	1/4	–3/2
– F	–1/4	1/2	–6

Змінивши склад базисних і вільних змінних, ми досягли невід’ємності вільних членів (увійшли в допустиму область: ми знаходимось у точці (6;0), а це вже точка області), тобто допустимий план знайдено.

Оптимальним є план, в якому в симплекс-таблиці всі оцінки функції F(x) невід’ємні. Згідно з правилом 2 у табл. 3 вибираємо найбільше відношення невід’ємного вільного члена до від’ємного елемента в стовпчику з від’ємною оцінкою. Але таке відношення одне 8/(–1/4). Елемент (–1/4), що утворив це відношення, беремо за ведучий. Виконуємо перетворення і отримаємо табл. 4.

Таблиця 4

		1/2	–8
	5/4	–26/8	–85/4
	1/4	4/8	–14/4
– F	–1/4	–2/8	14/4

Поділимо всі елементи табл. 4 на ведучий елемент (–1/4) та дістаємо табл. 5.

Таблиця 5

	–4	–2
	–5	–13
	–1	–2
– F			–14

Оскільки в симплекс-таблиці (табл. 5) всі оцінки додатні, то план є оптимальним (п. 5.4). У цьому плані

= 14, = 0, =0, = 85, =32,

– = –14 => = 14.

Під час розв’язування цієї задачі графічним методом, отримали такий самий оптимальний розв’язок = 14, =0, при якому =14.

Відповідь: Оптимальний план: =14, =0, =14.

Приклад 3. Знайти оптимальний план перевезень ТЗ, якщо а_і = (180; 350; 20); b_j = (110; 90; 120; 80; 150),

.

Розв’язання. Задача закритого типу. Опорний план знайдемо методом північно-західного кута (табл. 4).

Таблиця 4

						Запаси
Заяви

Опорний план:

Кількість базисних ненульових змінних дорівнює m+n –1=7, отже, опорний план невироджений.

Методом потенціалів знайдемо оптимальний план. Призначимо платежі і і занесемо в останній стовпчик і в останній рядок транспортної табл. 5.

Знайдемо псевдовартості для вільних клітин і занесемо їх у верхні ліві кути кожної вільної клітини табл. 5. Якщо для вільних клітин виконується умова , то отриманий план оптимальний, якщо , то продовжуємо вдосконалювати опорний план.

Таблиця 5

		70 –	10 4 +	9 8	7 5
	3 1	20 +	120 –			–4
	4 6	9 13	7 8	6 7		–3

З табл. 5 видно, що план не є оптимальним, оскільки існують вільні клітини (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), для яких .

Для поліпшення плану для однієї з вище зазначених клітин побудуємо цикл. Візьмемо, наприклад, клітину (1,3). Цикл буде проходити по клітинах (1,3), (2,3), (2,2), (1,2). Починаючи з клітини (1,3) розставляємо почергово знаки «+» і «-». Визначаємо величину W – найменше перевезення в “мінусових” клітинах: . Знайдену величину додаємо до перевезень у “плюсових” клітинах і віднімаємо від перевезень у “мінусових” клітинах. Базисна клітина (1,2), в якій знаходилася величина , стає вільною, а вільна клітина (1,3), для якої будували цикл, стає базисною. Новий опорний план наведено в табл. 6. Для одержання вартості нового плану визначаємо ціну циклу: .

Вартість нового опорного плану буде становити:

.

Таблиця 6

	110 –	6 12	70 +	3 8	1 5
	9 1 +		50 –
	1 6	9 13	7 8	6 7

Перевіряємо новий опорний план на оптимальність. Для цього знову призначаємо платежі і та визначаємо псевдовартості для вільних клітин. Для клітини (2;1) не виконується умова : 9>1, тому для вдосконалення плану для цієї клітини будуємо цикл. Клітини, пов’язані циклом, такі: (2,1), (1,1), (1,3), (2,3). Визначаємо величину W – найменше перевезення в “мінусових” клітинах: . Знайдену величину додаємо до перевезень у “плюсових” клітинах і віднімаємо від перевезень у “мінусових” клітинах. Базисна клітина (2,1), в якій знаходилася величина , стає вільною, а вільна клітина (2,3), для якої будували цикл, стає базисною. Новий опорний план наведено в табл. 7. Для одержання вартості нового плану визначаємо ціну циклу: .

Вартість нового опорного плану буде становити:

.

Таблиця 7

	60 –	14 12		11 8 +	3 5
	50 +		–2 6	80 –		–6
	2 6	9 13	–1 8	6 7		–5

Знайдений план не є оптимальним. Подальший розв’язок задачі наведено в табл. 8 і 9.

, ,

.

Таблиця 8

	4 7	11 12		60 –	6 5 +
			1 6	20 +	130 –	–3
	2 6	9 13	2 8	6 7		–2

, ,

.

Таблиця 9

	3 7	10 12		7 8
			2 6			–2
	2 6	9 13	3 8	6 7		–1

Наведений в табл. 9 план є оптимальним, оскільки виконується ознака оптимальності.

Відповідь: .

Дата добавления: 2015-05-23