Применение термодинамических потенциалов для описания эффекта Джоуля-Томсона 2 страница

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

Сжимаемость,

способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. С. обладают все вещества. Если вещество в процессе сжатия не испытывает химических, структурных и других изменений, то при возвращении внешнего давления к исходному значению начальный объём восстанавливается. У твёрдых тел, имеющих поры, трещины и другие неоднородности структуры, практически обратимая С. может наблюдаться только при достаточно высоком давлении (например, у горных пород при давлении большем 2—5 кбар; 1 кбар = 10⁸ н/м²).

Обычно С. (объёмной упругостью) называется обратимое изменение занимаемого веществом объёма V под равномерным гидростатическим давлением р. Величину С. характеризует коэффициент С. (b, который выражает уменьшение единичного объёма тела при увеличении р на одну единицу: , где D V и Dr — изменения объёма V и плотности r при изменении р на величину D р. К = 1/b называют модулем объёмной упругости (модулем объёмного сжатия, объёмным модулем), для твердых тел , где Е — модуль нормальной упругости (Юнга модуль), m — модуль сдвига. Для идеальных газов К = р при любой температуре Т. В общем случае С. вещества, а следовательно К и b, зависит от р и Т. Как правило, b убывает при увеличении р и растет с Т. Часто С. характеризуют относит. плотностью d = r/r₀, где r₀ — плотность при О °С и р = 1 атм.

Сжатие может происходить как при постоянной температуре (изотермически), так и с одновременным разогревом сжимаемого тела (например, в адиабатном процессе). В последнем случае значения К будут большими, чем при изотермическом сжатии (для большинства твёрдых тел при обычной температуре — на несколько %).

Для оценки С. веществ в широком диапазоне давлений используют уравнения состояния, выражающие связь между р, V и Т. Определяют С. непосредственно по изменению объёма тел под давлением (см. Пьезометр), из акустических измерений скорости распространения упругих волн в веществе, из экспериментов по ударному сжатию, дающих зависимость между r и р при максимальных полученных в эксперименте давлениях. С. находят также из измерений параметров кристаллической решётки под давлением, производимых методом рентгеновского структурного анализа. С. можно определить с помощью измерения линейной деформации твёрдого тела под гидростатическим давлением (по т. н. линейной С.). Для изотропного тела коэффициент линейной С. , где L — линейный размер тела.

С. газов, будучи очень большой при давлениях до 1 кбар, по мере приближения их плотности к плотности жидкостей становится близкой к С. жидкостей. Последняя с ростом р уменьшается сначала резко, а затем меняется весьма мало: в интервале 6—12 кбар b уменьшается примерно так же, как в интервале от 1 атм (10^-3 кбар) до 1 кбар (примерно в 2 раза), и при 10—12 кбар составляет 5—10% от начального значения. При 30—50 кбар модули К жидкостей по порядку величины близки к К твёрдых тел. Для твёрдых тел при 100 кбар Dr/r₀ " 15—25%. Для отдельных веществ, например щелочных металлов, Dr/r ~ 40%, для большинства др. металлов ~ 6—15%. Линейная С. анизотропных веществ зависит от кристаллографических направлений (во всяком случае, до давлений в десятки кбар), причём вдоль направлений со слабым межатомным взаимодействием она может в 8—10 раз превосходить С. по направлениям, вдоль которых в кристаллической решётке имеет место более сильная связь; изменение параметра решётки в этих направлениях в определённом интервале р может быть даже положительным (теллур, селен). С. — важнейшая характеристика вещества, которая позволяет судить о зависимости физических свойств от межатомных (межмолекулярных) расстояний.

Идеальный газ,

теоретическая модель газа, в которой пренебрегается взаимодействием частиц газа (средняя кинетическая энергия частиц много больше энергии их взаимодействия).

Различают классический И. г. (его свойства описываются законами классической физики) и квантовый И. г., подчиняющийся законам квантовой механики.

Частицы классического И. г. движутся независимо друг от друга, так что давление И. г. на стенку равно сумме импульсов, переданных за единицу времени отдельными частицами при столкновениях со стенкой, а энергия — сумме энергий отдельных частиц. Классический И. г. подчиняется уравнению состояния Клапейрона p = nkT, где р — давление, n — число частиц в единице объёма, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура. Частными случаями этого уравнения являются законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля (см. Газы). Частицы классического И.г. распределены по энергиям согласно распределению Больцмана (см. Больцмана статистика). Реальные газы хорошо описываются моделью классического И. г., если они достаточно разрежены.

При понижении температуры Т газа или увеличении его плотности n до определённого значения становятся существенными волновые (квантовые) свойства частиц И. г. Переход от классического И. г. к квантовому происходит при тех значениях Т и n, при которых длины волн де Бройля частиц, движущихся со скоростями порядка тепловых, сравнимы с расстоянием между частицами.

В квантовом случае различают два вида И. г.; частицы газа одного вида имеют целочисленный спин, к ним применима статистика Бозе — Эйнштейна, к частицам другого вида (с полуцелым спином) — статистика Ферми — Дирака (см. Статистическая физика).

И. г. Ферми — Дирака отличается от классического тем, что даже при абсолютном нуле температуры его давление и плотность энергии отличны от нуля и тем больше, чем выше плотность газа. При абсолютном нуле температуры существует максимальная (граничная) энергия, которую могут иметь частицы И. г. Ферми — Дирака (так называемая Ферми энергия). Если энергия теплового движения частиц И. г. Ферми — Дирака много меньше энергии Ферми, то его называют вырожденным газом. Согласно теории строения звезд, в звездах, плотность которых превышает 1—10 кг/см ³, существует вырожденный Ферми — Дирака И. г. электронов, а в звёздах с плотностью, превышающей 10⁹ кг/см ³, вещество превращается в Ферми — Дирака И. г. нейтронов (см. Нейтронные звёзды).

Применение теории И. г. Ферми — Дирака к электронам в металлах позволяет объяснить многие свойства металлического состояния. Реальный вырожденный Ферми — Дирака И. г. тем ближе к идеальному, чем он плотнее.

Частицы И. г. Бозе — Эйнштейна при абсолютном нуле температуры занимают наинизший уровень энергии и обладают равным нулю импульсом (И. г. в состоянии конденсата). С повышением Т число частиц в конденсате постепенно уменьшается и при некоторой температуре Т ₀ (температуре фазового перехода) конденсат исчезает (все частицы конденсата приобретают импульс). При Т < Т ₀ давление И. г. Бозе — Эйнштейна зависит только от температуры. Свойствами такого И. г. обладает при температурах, близких к абсолютному нулю, гелий. Другим примером И. г. Бозе — Эйнштейна является электромагнитное излучение (И. г. фотонов), находящееся в тепловом равновесии с излучающим телом. И. г. фотонов является также примером ультрарелятивистского И. г., то есть совокупности частиц, движущихся со скоростями, равными или близкими скорости света. Уравнение состояния такого газа: р = e/3, где e — плотность энергии газа. При достаточно низких температурах различного рода коллективные движения в жидкостях и твёрдых телах (например, колебания атомов кристаллической решётки) можно представить как И. г. слабых возбуждений (квазичастиц), энергия которых вносит свой вклад в энергию тела (см. Твёрдое тело, Квантовая жидкость).

Что же такое сжимаемость? Сжимаемостью называется способность

жидкости или газа уменьшать свой объем под действием сил внешнего

давления. Мерой сжимаемости является так называемый модуль объемной

упругости Е, определяемый из равенства

ΔV

Δp = − E, (1.1)

V0

где ΔV/V0 означает относительное изменение объема, вызванное

повышением давления на величину Δp. Для капельных жидкостей

сжимаемость чрезвычайно мала. Так, например, для воды Е=20000 кГс/см2,

т.е. повышение давления на одну атмосферу вызывает относительное

изменение объема на 1/20000 = 0,005%. То же самое имеет место и для всех

других капельных жидкостей. Таким образом, для капельных жидкостей

сжимаемость столь мала, что в большей части случаев ею можно пренебречь,

и поэтому течения капельных жидкостей могут рассматриваться как

несжимаемые.

Для газов, если изменение объема остается сравнительно небольшим и

происходит при постоянной температуре, модуль объемной упругости равен

давлению p0 в начальном состоянии, в чем легко убедиться из уравнения

состояния произвольного объема идеального газа. В самом деле, из

pV

уравнения состояния идеального газа = const следует, что при постоянной

T

температуре изменение объема ΔV, вызванное изменением давления Δp,

удовлетворяет соотношению

(p 0 + Δp)(V0 + ΔV) = p 0 V0,

ΔV

откуда имеем Δp ≈ −p 0.

V0

Следовательно, для воздуха в нормальном состоянии, т.е. при давлении,

равном 1 атм, и температуре 00 С

Е=1 кГс/см2.

Таким образом, сжимаемость воздуха в 20 000 раз больше

сжимаемости воды. Аналогичное соотношение имеет место и для

всех газов.

Решение вопроса о том, следует ли при течениях газа учитывать

сжимаемость, зависит от того, вызывают ли изменения

давления, связанные с движением газа, заметное изменение

объема газа или же такого изменения не происходит. Вместо

изменения объема можно оценить изменение плотности Δρ. На

основании закона сохранения массы мы имеем:

(V0 + ΔV)(ρ 0 + Δρ) = p 0 V0,

откуда

Δρ ΔV

≈−,

ρ0 V0

и поэтому равенство (1.1) можно переписать в виде

Δρ

Δp = E. (1.2)

ρ0

Очевидно, что течение жидкости допустимо рассматривать как

несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности остается

Δρ

весьма малым, т.е. пока << 1.

ρ0

Исходя из уравнения Бернулли

ρυ 2

p+ = const,

где υ - величина скорости жидкости, установим, что изменение давления Δp,

связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, что и

динамическое давление q=ρυ2/2, поэтому из равенства (1.2) следует, что

Δρ Δp q

= ≈. (1.3)

ρ0 E E

Если требуется, чтобы Δρ/ρ0<<1, то на основании равенства (1.3) это

q

равносильно требованию << 1.

E

Таким образом, получен следующий результат: течение газа можно

рассматривать с хорошим приближением как несжимаемое до тех пор, пока

динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем

объемной упругости.

Этот результат можно сформулировать несколько иначе, если ввести в

рассмотрение скорость звука а. Согласно формуле Лапласа, скорость звука

определяется равенством

E

a2 =,

ρ0

Δρ

поэтому, используя соотношение (1.3), условие << 1, можно переписать в

ρ0

виде

Δρ q ρ 0 υ 2 1 ⎛ υ ⎞

= = ≈ ⎜ ⎟ << 1 (1.4)

ρ0 E 2E 2⎝a⎠

Отношение υ/а называют числом Маха и обозначают

υ

M=.

a

Таким образом, течения газа можно рассматривать как несжимаемые, если (с

учетом (1.4))

1 2

M << 1, (1.5)

т.е. при условии, что число Маха остается малым по сравнению с единицей,

или, другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению

со скоростью звука. Для воздуха, в котором звук распространяется со

скоростью а≈330 м/с, число М при скорости υ=100 м/с, равно 0.3,

следовательно, из уравнений (1.4) и (1.5) относительное изменение

плотности будет

Δρ 1 2

= M ≈ 0.05.

ρ0 2

Эту скорость течения (υ=100 м/с) можно рассматривать как наибольшую,

при которой газ еще можно оценивать как несжимаемую жидкость.

Оценить сжимаемость можно еще одним способом.

Количественно сжимаемость среды определяется изменением ее

плотности Δρ, отнесенной к единице приложенного давления Δp. В механике

обычно пользуются обратной величиной, равной квадрату скорости звука a в

данной среде:

Δp dp

a2 = =.

Δρ dρ

Для мало сжимаемых газов и жидкостей при больших изменениях

давления Δp изменение плотности Δρ будет малым, а следовательно,

скорость звука – большой; и наоборот, для сильно сжимаемых жидкостей

при малых изменениях давления Δp изменение плотности Δρ будет

большим, а скорость звука – малой. Следовательно, характеристикой

сжимаемости жидкостей в состоянии покоя служит скорость звука в данной

среде. Очевидно, что сжимаемость воды, скорость звука в которой ~ 1500

м/с, значительно меньше сжимаемости воздуха, в котором скорость звука ~

330 м/с. В несжимаемой среде (Δρ=0 при Δp≠0) а=∞, т.е. малые возмущения

распространяются мгновенно (в алмазе а=18 км/с). В тех же случаях, когда

газ или жидкость движется, для оценки сжимаемости пользуются не

абсолютным значением скорости звука, а отношением скорости потока υ к

скорости звука (числом М).

Все реальные жидкости обладают вязкостью, и поэтому их называют

вязкими. В некоторых задачах влиянием вязкости можно пренебречь и

ввести понятие идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю [2]. Для

всех реальных жидкостей и газов такие физические характеристики, как

вязкость, теплоемкость, теплопроводность и т.д. зависят от их параметров,

например от температуры. Но во многих задачах с достаточной степенью

точности можно полагать эти величины постоянными.

Идеальная жидкость - это жидкость, не обладающая трением. При

движении жидкости без трения между отдельными ее соприкасающимися

слоями возникают только нормальные силы (давления), касательные же

силы (напряжения сдвига) отсутствуют. Это означает, что идеальная жид-

кость не оказывает изменению формы никакого внутреннего

сопротивления.

Теория движения идеальной жидкости математически очень глубоко

разработана и во многих случаях дает вполне удовлетворительную картину

действительных движений. В то же время она совершенно бессильна для

решения проблемы изучения сопротивления тела, движущегося в жидкости,

так как в этом случае приводит к результату, что тело, равномерно

движущееся в неограниченно распространенной жидкости, не испытывает

никакого сопротивления (парадокс Даламбера). Такой совершенно

неприемлемый результат теории идеальной жидкости объясняется тем, что в

действительных жидкостях между жидкостью и поверхностью обтекаемого

тела действуют не только нормальные, но и касательные силы, или, другими

словами, силы трения действительных жидкостей, которые связаны как раз с

таким свойством жидкости, как вязкость.

В идеальной жидкости касательные силы отсутствуют, поэтому на

поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью в общем случае

имеется разность касательных скоростей, т.е. происходит скольжение

жидкости вдоль стенки. Напротив, в действительной жидкости на

обтекаемую твердую стенку передаются касательные силы (силы трения), и

это приводит к тому, что жидкость прилипает к стенке.

Наличие касательных напряжений (напряжений сдвига) и прилипание

жидкости к твердым стенкам существенно отличают действительную

жидкость от идеальной. Некоторые жидкости, важные в практическом

отношении, например вода и особенно воздух, обладают малой вязкостью.

Течения таких маловязких жидкостей во многих случаях хорошо

совпадают с течениями идеальной жидкости, так как касательные силы в них

в общем являются очень малыми. Поэтому в теории идеальной жидкости

вязкость совершенно не учитывают, поскольку это проводит к

существенному упрощению уравнений движения, что позволяет построить

широкую математическую теорию. Необходимо, однако, подчеркнуть, что в

жидкостях даже с очень малой вязкостью в противоположность идеальной

жидкости прилипание к стенкам все же существует, что является физической

причиной указанного выше несоответствия между законами сопротивления

для действительной и идеальной жидкостей (парадокс Даламбера).

Сущность вязкости жидкости можно уяснить на опыте Куэтта.

Рассмотрим течение между двумя очень длинными параллельными плоскими

пластинами, из которых одна, например нижняя, неподвижна, в то время как

другая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью υ (см.

рис 1).

Обозначим расстояние между пластинами через h и предположим, что

давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью, постоянно. Опыт

показывает, что жидкость прилипает к обеим пластинам, следовательно,

непосредственно около нижней пластины скорость жидкости равна нулю, а

непосредственно около верхней пластины она совпадает со скоростью υ

верхней пластины. Далее опыт показывает, что в пространстве между

пластинами имеет место линейное распределение скоростей, т.е. скорость

пропорциональна расстоянию "у" от нижней пластины и выражается

формулой

y

υ (y) = υ.

h

Для того чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со

стороны верхней пластины должна быть приложена касательная сила в

направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. На

основании результатов опыта эта сила (отнесенная к единице площади

пластины) пропорциональна скорости υ верхней пластины и обратно

пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила

трения τ, отнесенная к единице площади, т.е. касательное напряжение,

пропорционально отношению υ/h, вместо которого можно взять отношение

dυ/dy. Множитель пропорциональности между τ и dυ/dy, обозначенный

через μ, зависит от природы жидкости. Он мал для так называемых мало-

вязких жидкостей, например для воды и спирта, и напротив велик для очень

вязких жидкостей, например для масла и глицерина. Таким образом, имеем

элементарный закон трения жидкости в следующем виде:

τ = μ dυ.

dy

Величина μ[Па⋅с] называется динамическим коэффициентом вязкости и

представляет собой физическую характеристику жидкости. Закон трения,

выражаемый вышеприведенным равенством, называют законом Ньютона.

Необходимо подчеркнуть, что рассмотренное нами движение

представляет очень простой, частный случай. Течение, изображенное на

рис.1, называется движением чистого сдвига.

Во многих движениях жидкости, где наряду с силами вязкости

действуют также силы инерции, важную роль играет отношение вязкости μ к

плотности ρ, называемое кинематическим коэффициентом вязкости:

μ м 2 ⎡ cм 2

ν=, − С т о к с⎤.

ρ ⎢

c ⎣ c ⎥

⎦

Необходимо отметить, что динамическая вязкость сильно зависит от

температуры, причем для жидкостей при повышении температуры она

уменьшается, а для газов - возрастает. Давление мало влияет на значения μ.

Аэрогидромеханика в своей общей части строится на двух основных

свойствах жидких и газообразных сред: непрерывности и текучести.

Свойства эти являются следствием внутренних процессов в действительных

жидкостях и газах и обусловлены особенностям их молекулярной структуры.

Механика жидкости и газа отвлекается от этих явлений, изучением

внутренних (молекулярных) движений жидкостей и газов занимается

специальный раздел физики - кинетическая теория жидкости и газа.

Основываясь на свойстве непрерывности распределения физических

(механических, термодинамических и др.) характеристик состояния и

движения в сплошной среде, аэрогидромеханика с целью упрощения рас-

смотрения некоторых специальных явлений допускает в ряде случаев

существование особых точек, линий и поверхностей, где непрерывность

может нарушаться. Таковы, например, ударные волны, схематизированные в

идеальных газах поверхностями разрыва параметров состояния и движения

газа. К числу такого рода исключений относятся вихревые слои,

представляющие поверхности скачкообразного изменения скорости в потоке,

и другие поверхности разрыва.

Принцип обращения движения. Метод Лагранжа изучения движения среды.

Дата добавления: 2015-05-23