Теоретичні відомості. Визначення прискорення сили тяжіння за допомогою перекидного маятника

Визначення прискорення сили тяжіння за допомогою перекидного маятника

Лабораторна робота № 1

Мета роботи: вивчення перекидного маятника, визначення прискорення сили тяжіння.

Обладнання: перекидний маятник, електронний секундомір, вимірювальна лінійка.

Фізичним маятником називається тверде тіло, яке під дією сили тяжіння здатне коливатись навколо горизонтальної осі (рис.1.1). Точка О перетину вертикальної площини, що проходить через центр мас маятника С, з горизонтальною віссю називається точкою підвісу. Відхилення маятника від положення рівноваги характеризується кутом .

Будемо вважати, що моменти сил тертя та опору незвичні. В цьому випадку рух маятника визначається лише моментом сили тяжіння

,

де "а" - відстань ОС від точки підвісу до центру мас.

Застосовуючи основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла, матимемо;

(1.1)

де момент інерції маятника відносно осі О, - кутове прискорення.

Для малих відхилень від положення рівноваги , тому рівняння (1.1) набуде наступного вигляду:

(1.2)

з урахуванням позначення

Розв'язок цього рівняння добре відомий - не гармонічні коливання з частотою , тобто

, (1.3)

де - амплітуда коливань,

- початкова фаза. Рис. 4.1.Схема руху млинка

Період коливань фізичного маятника:

(1.4)

Позначимо як момент інерції маятника відносно осі, що проходить через центр мас С і паралельна до осі качання. Відповідно до теореми Штейвера,

(1.5)

звідки

(1.6)

Формулу (4.6), то виражає залежність періоду коливань. Т фізичного маятника від відстані "а" між точкою підвісу та центром мас, зручно поділи у такому вигляді:

що дозволяє з'ясувати поведінку функції T(a) при дуже великих () і

малих (а 0) значеннях "а". Очевидно, що при тобто T(a)~ . Для дуже малих значень "а" T(a) ~ . У цьому випадку кажуть, що при період T(a) , як ; при а 0 період також прямує до нескінченності, але на цей раз, як

Функція (1.6) неперервна на (0, ) і прямує до нескінченності на краях інтервалу. Відповідно, вона повинна досягати деякого мінімального значення за а є(0, ). Окрім того, формула (1.6) описує залежність T(а) як для прямого", так і для "оберненого" маятника. З огляду на ці міркування можна дуже просто побудувати графік функції Т(а), показаний на рис.1. 2.

Формула (1.6) дає можливість експериментально визначити прискорення сил тяжіння. Дійсно, підвішуючи маятник на різних відстанях , і , від центру мас, можна виміряти відповідні періоди коливань Т , і Т Використовуючи їй співвідношення (1.6), отримаємо систему рівнянь:

Якщо з рівнянь виключити J ₀, то отримаємо:

(1.7)

Осі Т слід вважати співпадаючими: ; . Одне і те ж саме значення періоду Т (за умови Т> ) досягається під час підвішування маятника в точках .

Однак формулу (1.7) можна значно спростити. Припустимо, що нам вдалося знайти положення точок О₂ і О ,, розташованих по різні боки від центру мас (див. рис 1.2). У такому випадку , і формула (1.7) набирає простішого вигляду:

(1.8)

де

Усі величини, що входять до формули (1.8), можуть бути легко виміряні з великим ступенем точності. Найбільшою складністю є визначення точок підвісу, в яких періоди "прямого" і "оберненого" маятників практично співпадають (звідси назва - перекидний)

Існує багато різноманітних конструкцій перекидного маятника, одна з яких зображена на рис.1 3. На сталевому стержні закріплено дві опорні призми (П. і П₂ І і тягарці (Г, і Г,), переміщуючи які, можна у досить широких межах змінювали період. Нанесені па поверхню стержня шкали

Рис.1.2. Залежність періоду коливань Т фізичною маятника від відстані "а" між точкою підвісу й центром мас.

Існує багато різноманітних конструкцій перекидного маятника, одна з яких зображена на рис.1 3. На сталевому стержні закріплено дві опорні призми (П₁ і П₂) і тягарці (Г₁, і Г₂), переміщуючи які, можна у досить широких межах змінювали період. Нанесені па поверхню стержня шкали визначають положення рухомих елементів конструкції, їх вплив па періоди Т₁, і Т₂, ілюструє рис.1.4. Видно, що переміщення П₂ більше впливає на період Т ₂ніж переміщення П₁ на Т₂,. При цьому положення центра мас майже не змінюється, оскільки призми досить легкі. Однак невеликий зсув тягарця Г₂ у напрямку стрілки призводить до значного зміщення центра мас С. Це означає, що відстань а ₂збільшується, а а ₁на стільки ж зменшується. Обидва періоди зменшуються, однак Т₂ значно швидше, завдяки чому їх можна вирівняти. Розглянемо ситуацію, коли в початковий момент Т₁, > Т ₂

Які тягарці необхідно переміщувати і в який бік, щоб вирівняти періоди? Чи можна це зробити? Переміщення тягарців змінює обидва періоди Т ₁і Т₂ в один і той же самий бік, чи в різні?

Періоди Т₁, і Т ₂можна так вирівняти, що їх різниця буде перебувати в межах випадкового розкиду результатів повторних вимірювань. Це дає змогу розглядати набір значень Т₁ і Т ₂як єдиний набір Т та розрахувати відповідне середнє значення <Т> і вибірковий стандарт середнього Фактично ми розглядаємо Т₁ -Т₂ як випадкову похибку. Розглянемо, як випадкова похибка вимірювання позначиться на похибці .Для цього слід скористатися формулою (1.7) замість (1.8), яка не враховує відмінностей у періодах. Відповідний розрахунок приводить до такого результату:

,

де - вибірковий стандарт середнього значення . Вираз для відносної похибки виглядає зовсім просто:

(1.9)

Аналогічно розраховується систематична похибці:

де - систематичні похибки величин

Рис.1. З Конструкція

перекидного маятника

Рис.1.4. Вплив переміщення різних елементів перекидного маятника на значення періодів Т₁ і Т₂;С-центрмас;П₁іП₂ - рухомі опорні призми; Г₁ і Г₂ - рухомі тягарці.

Ці вирази показують, що відносна похибка необмежене зростає, якщо різниця а₁-а₂ прямує до нуля, тобто якщо (рис.1.2). Тому планувати експеримент слід гак, щоб а₁ і а₂ відрізнялись одне від одного досить вагомо. Неважко, одначе, показати, що при значній відмінності а₁, і а₂ зростає затухання коливань, що призводить до пониження точності вимірювання періоду. Задовільні результати можна отримати, якщо вибрати 3>а₁/а_г> 1.5

1.2, Порядок виконання роботи

1. Ознайомтесь з конструкцією перекидного маятника. Тягарець Г₂ розмістіть якнайближче до призми П_2.

2. Приведіть маятник у коливальний рух на одній з опорних призм так, щоб амплітуда коливань не перевищувала 10°. Період вимірюють за часом 10-ти коливань. При цьому не обов'язково щоразу визначати значення самих періодів, достатньо вимірювати час 10-ти коливань , і при коливаннях на призмах П₁ і П₂ відповідно.

3. Переміщуючи тягарець Г₂ вздовж шкали, нанесеної на стержні, з кроком 1-2 поділки, виміряйте не менше трьох разів кожне з , і ; визначте відповідне кожній новій позиції Г₂ середні значення <t₁> і <t₂>. Результати вимірювань занесіть до табл. 1. На аркуші міліметрового паперу побудуйте графіки залежності середніх значень <t₁> і <t₂> від n, де n - поділка шкали. Точка перетину цих кривих визначить оптимальне положення тягарця Г, при якому значення періодів Т₁, і Т₂, будуть найбільш близькими. Точку перетину позначте n₀.

4. Прилаштуйте маятник на призму П₂, а тягарець Г₂ закріпіть у положенні n₀. Прилаштуйте маятник у коливальний рух з відхиленням у межах кута 10° і виміряєте час t 50-ти коливань. Вимірювання проведіть тричі.

5. Підвісьте маятник на призму П₁,не змінюючи положення тягарця. Повторіть вимірювання часу 50-ти коливань (три серії вимірів) (див. п. 4). Дані пп. 4, 5 занесіть до табл.1.2.

6. Для кожної з шести серій вимірювань визначте значення періоду коливань Т. Знайдіть середнє значення періоду <T>

7. Виміряйте параметр - відстань між призмами П₁ і П₂.

8. За формулою (1.8) визначте прискорення вільного падіння <g>, підставляючи замість T його середнє значення <Т>.

9. Використовуючи вирази (1.9) і (1.10), оцініть похибку визначення <g>.

Таблиця 1.1

На П1	На П2
n
…

Таблиця 1.2

	Час 50-ти коливань,с	Період Т,с	,с	,с
n	Призма П1
...
	Призма П2
...

Параметри розрахунків:

(м) =....; (м) =....; (м) =....;

(м) =....; (с) =....; =....;

Визначенні похибок:

Остаточний результат:

Дата добавления: 2015-05-23