Практична РОБОТА №4

машинний РОЗВ’ЯЗОК систем ЛІНІЙНИХ

алгебраїчних РІВНЯНЬ

4.1 МЕТА РОБОТИ

1 Вивчення основних визначень і положень теорії нелінійних та систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

2 Вивчення основних чисельних методів розв'язку систем лінійних рівнянь.

3 Розробка чисельного алгоритму і розв'язок на ЕОМ нелінійних та систем лінійних рівнянь.

4.2 КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1 Основні визначення

Система рівнянь виду:

(4.1)

або в скороченому записі:

називається лінійною алгебраїчною системою з n рівнянь з n-невідомими x_i (i=1,...,n). У матричній формі вона записується в такий спосіб:

де A - квадратна матриця, і - вектори стовпці виду:

Визначником (детермінантом) матриці А порядку n називається число D_n (det) рівне:

де індекси a,b,..., ω (набувають усі можливі n! перестановок чисел 1,2,...n; k- число інверсій у даній перестановці (інверсія - кількість усіх можливих пар з індексів a,b,..., ω, для яких виконується умова, що в парі перший індекс більше другого, наприклад, якщо a>b і a,b<...w, то в перестановці всього одна інверсія).

Також використовується наступне визначення детермінанта, що еквівалентно попередньому:

де - визначник матриці порядку (n-1), утвореної з матриці A викреслюванням першого рядка і i -ого стовпця.

Для існування одиничності розв'язку системи (4.1) необхідно і достатньо виконання умови det A¹0.

Методи розв'язку системи (4.1) поділяються на дві групи - прямі (точні) і ітераційні (наближені).

Прямі методи

Найбільш розповсюдженими є наступні прямі методи:

а) правила Крамера. Розв'язок системи (2.1) зводиться до знаходження значень:

де

(4.2)

б) метод Гаусса. Цей метод ґрунтується на приведенні методом виключення системи (4.1) до трикутного виду (прямій хід):

(4.3)

а потім розв'язок цієї системи починають з визначення x_n і т.д. (зворотний хід).

Якщо система відразу зводиться до діагонального виду, то такий метод називається методом Жордана-Гаусса.

Для зменшення похибки заокруглення при зведенні матриці А до трикутного виду вибирається максимальний елемент у стовпці або в рядку і за допомогою перестановок його роблять головним (схема часткового вибору). Якщо головний елемент вибирається у всій матриці, то схема зветься глобальним вибором.

Алгоритм розв'язку системи з n рівнянь методом Гаусса з вибором головного елемента по стовпцях виглядає наступним чином.

Прямий хід. На k кроці вибирається головний елемент у k стовпці. Нехай це буде елемент у j -тому рядку , k£j£n. Верхній індекс у дужках вказує, що коефіцієнти рівняння отримані після (k-1) кроку виключення.

Перестановка j і k рядків робить цей елемент діагональним.

Далі здійснюється виключення x_k з рівнянь з номерами k+1,...,n за допомогою співвідношення:

(4.4)

Після n-1 кроків приходимо до системи рівнянь (4.3) із трикутною матрицею.

Дата добавления: 2015-05-23