Диференційовність функції

Похідна функції в точці

Диференціальне числення функцій однієї змінної

Нехай функція , визначена і неперервна в деякому околі точки . Якщо існує границя , то цю границю називатимемо похідною функції f у точці і позначатимемо . Наприклад, якщо , то

.

Похідні основних елементарних функцій обчислюються за формулами.

Для обчислення похідних використовують такі правила диференціювання:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6) .

Наприклад, .

Якщо приріст функції f в точці можна представити у вигляді

,

де А — деяка константа, а — нескінченно мала, коли , то функцію f називають диференційовною в цій точці.

Диференціалом функції f в точці називають головну лінійну частину її приросту . Для малих приростів аргумента приріст диференційовної функції практично не відрізняється від її диференціала.

Кожна диференційовна в точці функція є неперервною в цій точці.

Необхідною і достатньою умовою диференційованості функції в точці є інування в цій точці її похідної. Для диференційовної функції справджується рівність . Оскільки , то похідну функції в точці можна записати у вигляді .

Пряма є дотичною до графіка диференційовної в точці функції f у цій точці.

Функція називається диференційовною на інтервалі , якщо вона диференційована в кожній точці цього інтервалу.

Дата добавления: 2015-05-23