Інтерполяц. многочлен Лагранжа

Побудуєм мног-н L_n(x) степеня n, який задов. умови:L_n(x_i)=y_i(і= ) (2)

Інтерпол. многочлен L_n(x) побудуємо у вигляді:

L_n(x)=а₀(х-х₁)(х-х₂)*…*(х-х_n)+а₁(х-х₀)(х-х₂)*…*(х-х_n)+…+а_k(х-х₀)(х-х₁)*… (3)

..*(х-х_k-1)(х-х_k+1)*…*(х-х_n)+…+а_n(х-х₀)(х-х₁)*…*(х-х_n-1)

де a_k коефіцієнти невідомі.

Кожен доданок виразу (3) є многочлен степеня n при чому при кожному з коеф. a_k відсутній множник (x-x_k).Визначимо a_k корист. умовами (2). Підставимо у (3) x=x₀: L_n(x₀)=y₀=а₀(х₀-х₁)(х₀-х₂)*…*(х₀-х_n)

а₀= y₀/(х₀-х₁)(х₀-х₂)*…*(х₀-х_n)

В загальному одержимо: L_n(x_i)=y_i= а_i(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Звідси визначимо а_і: а_i= y_i/(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Підставимо знайд. коеф. у ф-лу (3) і одержимо:

(4)

Позначимо многочлен

(5)

Знайдемо похідну від :

(х-х₁)(х-х₂)*…*(х-х_n)+ (х-х₀)(х-х₂)*…*(х-х_n)+…

(х_i-х₀)(х_i-х₁)*...*(х_i-х_i-1)(х_i-х_i+1)*…*(х_i-х_n)

Многочлен L_n(x) визн. за ф-лою (4) наз інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену ф-лу наз. ф-лою Лагранжа.

Вираз наз. коеф. Лагранжа.

Т: Якщо вузли інтерполяції x_i(і= ) різні і належать відрізку , а ф-ція f(x) диф. n+1 раз на відрізку , то для якої викон. нерівність . Якщо , то оцінка залишкового члена запишеться у такому вигляді:

Дата добавления: 2015-05-23